Номер 507, страница 144 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

20. Упражнения на повторение раздела «Последовательности». III. Последовательности - номер 507, страница 144.

Условие.

507. Последовательность $(b_n)$ задана формулой $n$-го члена $b_n = n(2n + 1)$. Докажите, что сумму $n$ первых ее членов можно найти по формуле $S_n = \frac{n(n + 1)(4n + 5)}{6}$.

Решение.

Решение 2 (rus).

Для доказательства того, что сумма $n$ первых членов последовательности $(b_n)$, заданной формулой $b_n = n(2n + 1)$, может быть найдена по формуле $S_n = \frac{n(n+1)(4n+5)}{6}$, мы выразим сумму $S_n$ через известные суммы степеней натуральных чисел.

Сумма $S_n$ по определению равна:

$S_n = \sum_{k=1}^{n} b_k = \sum_{k=1}^{n} k(2k + 1)$

Раскроем скобки в выражении под знаком суммы, чтобы разделить ее на более простые части:

$S_n = \sum_{k=1}^{n} (2k^2 + k)$

Используя свойство аддитивности суммы, представим $S_n$ в виде суммы двух слагаемых:

$S_n = \sum_{k=1}^{n} 2k^2 + \sum_{k=1}^{n} k$

Вынесем константу 2 за знак первой суммы:

$S_n = 2\sum_{k=1}^{n} k^2 + \sum_{k=1}^{n} k$

Теперь воспользуемся стандартными формулами для суммы первых $n$ натуральных чисел и суммы их квадратов:

1. Сумма первых $n$ чисел: $\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$

2. Сумма квадратов первых $n$ чисел: $\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

Подставим эти формулы в наше выражение для $S_n$:

$S_n = 2 \cdot \left( \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \right) + \frac{n(n+1)}{2}$

Сократим множитель 2 в первом слагаемом:

$S_n = \frac{n(n+1)(2n+1)}{3} + \frac{n(n+1)}{2}$

Для сложения дробей приведем их к общему знаменателю, равному 6:

$S_n = \frac{2 \cdot n(n+1)(2n+1)}{6} + \frac{3 \cdot n(n+1)}{6}$

Теперь вынесем общий множитель $\frac{n(n+1)}{6}$ за скобки:

$S_n = \frac{n(n+1)}{6} [2(2n+1) + 3]$

Упростим выражение в квадратных скобках:

$2(2n+1) + 3 = 4n + 2 + 3 = 4n + 5$

Наконец, подставим упрощенное выражение обратно в формулу для $S_n$:

$S_n = \frac{n(n+1)(4n+5)}{6}$

Полученное выражение в точности совпадает с формулой, которую требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Сумма $n$ первых членов последовательности $b_n = n(2n+1)$ действительно равна $S_n = \frac{n(n+1)(4n+5)}{6}$.