Номер 510, страница 144 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

510. Найдите сумму всех несократимых дробей $x$ со знаменателем 3, если $10 < x < 20$.

1. Определение диапазона значений x

• Представим границы 10 и 20 в виде дробей со знаменателем 3:
  $10 = \frac{30}{3}$, $20 = \frac{60}{3}$.
• Следовательно, нас интересуют дроби $\frac{k}{3}$, где $30 < k < 60$.

Ответ: Числители дробей находятся в диапазоне от 31 до 59 включительно.

2. Исключение сократимых дробей

• Дробь $\frac{k}{3}$ является сократимой только в том случае, если $k$ делится на 3 без остатка.
• Выпишем все $k$ кратные 3 в нашем диапазоне: 33, 36, 39, 42, 45, 48, 51, 54, 57.
• Эти числа соответствуют целым числам (11, 12, ..., 19), их мы исключаем.
• Несократимые дроби будут иметь вид $\frac{31}{3}, \frac{32}{3}, \frac{34}{3}, \frac{35}{3}, \dots, \frac{58}{3}, \frac{59}{3}$.

Ответ: Искомые дроби — это те, чей числитель не кратен 3.

3. Вычисление суммы

• Сначала найдем сумму всех дробей от $\frac{31}{3}$ до $\frac{59}{3}$:
  $S_{all} = \frac{1}{3} \cdot (31 + 32 + 33 + \dots + 59)$.
• Количество слагаемых $n = 59 - 31 + 1 = 29$.
  Сумма арифметической прогрессии: $\frac{31+59}{2} \cdot 29 = 45 \cdot 29 = 1305$.
  $S_{all} = \frac{1305}{3} = 435$.
• Теперь найдем сумму сократимых дробей (целых чисел от 11 до 19):
  $S_{int} = 11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 16 + 17 + 18 + 19$.
  $S_{int} = \frac{11+19}{2} \cdot 9 = 15 \cdot 9 = 135$.
• Искомая сумма: $S = S_{all} - S_{int} = 435 - 135 = 300$.

Ответ: 300.