Номер 510, страница 144 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

20. Упражнения на повторение раздела «Последовательности». III. Последовательности - номер 510, страница 144.

Условие.

510. Найдите сумму всех несократимых дробей $x$ со знаменателем 3, если $10 < x < 20$.

Решение.

Решение 2 (rus).

Пусть искомые несократимые дроби имеют вид $x_n = \frac{m}{3}$, где $m$ - целое число.

Согласно условию, эти дроби должны находиться в интервале $10 < x_n < 20$. Подставим в это неравенство выражение для $x_n$:

$10 < \frac{m}{3} < 20$

Чтобы определить диапазон возможных значений для числителя $m$, умножим все части двойного неравенства на 3:

$10 \cdot 3 < m < 20 \cdot 3$

$30 < m < 60$

Таким образом, числители $m$ являются целыми числами в интервале от 31 до 59 включительно.

Дробь $\frac{m}{3}$ является несократимой, если ее числитель $m$ и знаменатель 3 не имеют общих делителей, кроме 1. Поскольку 3 — простое число, это означает, что $m$ не должно делиться на 3.

Наша задача — найти сумму всех дробей $\frac{m}{3}$, где $m$ — целое число от 31 до 59, не кратное 3.

Искомая сумма $S$ равна:

$S = \sum_{\substack{30

Для вычисления суммы числителей мы найдем сумму всех целых чисел от 31 до 59, а затем вычтем из нее сумму тех чисел из этого диапазона, которые делятся на 3.

1. Сумма всех целых чисел от 31 до 59.

Это арифметическая прогрессия, где первый член $a_1 = 31$, последний член $a_n = 59$. Количество членов $n = 59 - 31 + 1 = 29$.

Сумма $S_{всех} = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n = \frac{31 + 59}{2} \cdot 29 = \frac{90}{2} \cdot 29 = 45 \cdot 29 = 1305$.

2. Сумма целых чисел от 31 до 59, кратных 3.

Первое такое число в диапазоне — 33, последнее — 57. Это также арифметическая прогрессия: 33, 36, ..., 57.

Первый член $b_1 = 33$, последний член $b_k = 57$. Чтобы найти количество членов $k$, можно заметить, что это числа от $3 \cdot 11$ до $3 \cdot 19$, то есть $k = 19 - 11 + 1 = 9$.

Сумма $S_{кратных\;3} = \frac{b_1 + b_k}{2} \cdot k = \frac{33 + 57}{2} \cdot 9 = \frac{90}{2} \cdot 9 = 45 \cdot 9 = 405$.

3. Сумма числителей несократимых дробей.

Эта сумма равна разности между общей суммой и суммой чисел, кратных 3:

$\sum m = S_{всех} - S_{кратных\;3} = 1305 - 405 = 900$.

4. Итоговая сумма дробей.

Теперь мы можем вычислить искомую сумму всех несократимых дробей:

$S = \frac{1}{3} \cdot (\sum m) = \frac{1}{3} \cdot 900 = 300$.

Ответ: 300