Номер 516, страница 144 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

20. Упражнения на повторение раздела «Последовательности». III. Последовательности - номер 516, страница 144.

Условие.

516. Докажите, что если стороны прямоугольного треугольника составляют арифметическую прогрессию, то ее разность равна радиусу окружности, вписанной в этот треугольник.

Решение.

Решение 2 (rus).

Пусть стороны прямоугольного треугольника образуют арифметическую прогрессию. Обозначим разность этой прогрессии через $d$, где $d > 0$. Поскольку гипотенуза является самой длинной стороной в прямоугольном треугольнике, мы можем представить длины сторон в порядке возрастания. Пусть средняя по величине сторона (один из катетов) равна $x$. Тогда меньший катет будет равен $x - d$, а гипотенуза — $x + d$.

Таким образом, катеты треугольника равны $a = x - d$ и $b = x$, а гипотенуза $c = x + d$. Для того чтобы все стороны имели положительную длину, должно выполняться условие $x > d$.

Согласно теореме Пифагора, сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы:

$a^2 + b^2 = c^2$

Подставим в это уравнение выражения для сторон через $x$ и $d$:

$(x - d)^2 + x^2 = (x + d)^2$

Раскроем скобки и упростим полученное выражение:

$x^2 - 2xd + d^2 + x^2 = x^2 + 2xd + d^2$

$2x^2 - 2xd + d^2 = x^2 + 2xd + d^2$

Вычтем из обеих частей $x^2$ и $d^2$:

$x^2 - 2xd = 2xd$

$x^2 = 4xd$

Поскольку $x$ — это длина стороны треугольника, $x \ne 0$. Мы можем разделить обе части уравнения на $x$:

$x = 4d$

Теперь мы можем выразить длины всех сторон треугольника только через разность прогрессии $d$:

• Меньший катет: $a = x - d = 4d - d = 3d$
• Больший катет: $b = x = 4d$
• Гипотенуза: $c = x + d = 4d + d = 5d$

Итак, стороны треугольника равны $3d$, $4d$ и $5d$.

Теперь найдем радиус $r$ окружности, вписанной в этот прямоугольный треугольник. Формула для радиуса окружности, вписанной в прямоугольный треугольник с катетами $a$, $b$ и гипотенузой $c$, имеет вид:

$r = \frac{a + b - c}{2}$

Подставим в эту формулу найденные значения сторон:

$r = \frac{3d + 4d - 5d}{2}$

$r = \frac{7d - 5d}{2}$

$r = \frac{2d}{2}$

$r = d$

Мы получили, что радиус вписанной окружности $r$ равен разности арифметической прогрессии $d$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Разность арифметической прогрессии, которую составляют стороны прямоугольного треугольника, действительно равна радиусу вписанной в этот треугольник окружности.