Вопросы, страница 153 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

21. Градусная и радианная меры углов и дуг. IV. Тригонометрия - страница 153.

Условие.

1. Объясните, что принимается за угол поворота.

2. Что называется углом в 1 радиан?

3. Скольким радианам равен угол в $180^\circ$?

4. Чему равно приближенное значение 1 радиана в градусах?

Решение.

Решение 2 (rus).

1. Объясните, что принимается за угол поворота.

Углом поворота называют меру вращения подвижного луча вокруг его начала. В геометрии и тригонометрии угол поворота обычно рассматривают в системе координат. Начальное положение луча, как правило, совмещают с положительным направлением оси абсцисс (Ox). Затем этот луч поворачивают вокруг начала координат (точки O) на определенную величину. Угол, описывающий это вращение, и есть угол поворота.
Принято считать, что поворот против часовой стрелки образует положительный угол, а поворот по часовой стрелке — отрицательный. Величина угла поворота не ограничена диапазоном от $0°$ до $360°$, она может быть любым действительным числом. Например, угол в $450°$ означает полный оборот ($360°$) и еще $90°$ против часовой стрелки.

Ответ: За угол поворота принимается угол, образованный вращением подвижного луча вокруг своей начальной точки от начального положения до конечного. Угол считается положительным при вращении против часовой стрелки и отрицательным — при вращении по часовой стрелке.

2. Что называется углом в 1 радиан?

Углом в 1 радиан называется центральный угол окружности, который опирается на дугу, длина которой равна радиусу этой окружности.
Если имеется окружность с радиусом $R$ и на ней выделена дуга длиной $L$, то величина центрального угла $\alpha$, опирающегося на эту дугу, в радианах вычисляется по формуле $\alpha = \frac{L}{R}$. Соответственно, если длина дуги $L$ равна радиусу $R$, то угол $\alpha = \frac{R}{R} = 1$ радиан.

Ответ: Угол в 1 радиан — это такой центральный угол, для которого длина дуги, на которую он опирается, равна радиусу окружности.

3. Скольким радианам равен угол в 180°?

Полный угол, соответствующий полному обороту, равен $360°$. Длина всей окружности радиуса $R$ равна $C = 2\pi R$. Величина полного угла в радианах равна отношению длины всей окружности к ее радиусу: $\alpha_{полный} = \frac{2\pi R}{R} = 2\pi$ радиан.
Таким образом, мы получаем фундаментальное соотношение между градусной и радианной мерой: $360° = 2\pi$ радиан.
Чтобы найти радианную меру угла в $180°$, который составляет половину полного оборота, нужно разделить обе части этого равенства на 2:
$180° = \frac{2\pi}{2} \text{ радиан} = \pi \text{ радиан}$.

Ответ: $\pi$ радиан.

4. Чему равно приближенное значение 1 радиана в градусах?

Для нахождения градусной меры 1 радиана воспользуемся установленным соотношением: $\pi \text{ радиан} = 180°$.
Чтобы найти, скольким градусам равен 1 радиан, разделим обе части этого равенства на $\pi$:
$1 \text{ радиан} = \frac{180°}{\pi}$.
Для вычисления приближенного значения используем $\pi \approx 3.14159...$
$1 \text{ радиан} \approx \frac{180°}{3.14159} \approx 57.29578°$.
В большинстве случаев для практических целей это значение округляют до десятых.

Ответ: $1 \text{ радиан} \approx 57.3°$.