Найдите в интернете, страница 146 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

20. Упражнения на повторение раздела «Последовательности». III. Последовательности - страница 146.

Условие.

Найдите в Интернете:

1) информацию о числах Фибоначчи, «задачу о кроликах» и ее решение;

2) древнеегипетскую и древневавилонскую задачи, решаемые с использованием арифметической или геометрической прогрессии.

Решение 2 (rus).

1) информацию о числах Фибоначчи, «задачу о кроликах» и ее решение;

Числа Фибоначчи — это элементы числовой последовательности, в которой каждое последующее число равно сумме двух предыдущих. Начинается последовательность обычно с 0 и 1.

Формально, последовательность чисел Фибоначчи $F_n$ задаётся рекуррентным соотношением:

$F_0 = 0$

$F_1 = 1$

$F_n = F_{n-1} + F_{n-2}$ при $n \ge 2$.

Начало последовательности выглядит так: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ...

Эта последовательность была впервые описана итальянским математиком Леонардо Пизанским, известным как Фибоначчи, в его труде «Книга абака» (1202 год) при решении «задачи о кроликах».

Формулировка «задачи о кроликах»:

Предположим, у нас есть пара новорожденных кроликов (самец и самка). Нужно выяснить, сколько пар кроликов будет через год, если соблюдаются следующие условия:

• каждая пара кроликов становится способной к размножению через месяц после своего рождения;
• каждая созревшая пара кроликов каждый месяц рождает одну новую пару (самца и самку);
• кролики никогда не умирают.

Решение задачи:

Проследим за ростом популяции кроликов по месяцам. Количество пар в n-м месяце обозначим как $F_n$.

• В начале 1-го месяца: есть 1 пара новорожденных кроликов. $F_1 = 1$.
• В начале 2-го месяца: эта пара созревает, но еще не дает потомства. У нас по-прежнему 1 пара. $F_2 = 1$.
• В начале 3-го месяца: первая пара рождает новую пару. Теперь у нас 2 пары. $F_3 = 2$.
• В начале 4-го месяца: первая пара рождает еще одну пару, а вторая пара только созревает. Всего 3 пары. $F_4 = 3$.
• В начале 5-го месяца: первая и вторая пары рождают по новой паре (итого 2 новые пары). Всего $3 + 2 = 5$ пар. $F_5 = 5$.

Можно заметить, что количество пар кроликов в n-м месяце равно количеству пар в предыдущем (n-1)-м месяце плюс количество новорожденных пар. Количество новорожденных пар равно количеству пар, которые были два месяца назад (n-2), так как именно столько пар успело созреть для размножения. Таким образом, мы получаем ту же формулу: $F_n = F_{n-1} + F_{n-2}$.

Чтобы найти количество пар через год (то есть в конце 12-го месяца, что соответствует началу 13-го месяца), нужно найти 13-й член последовательности Фибоначчи (если считать, что $F_1=1$).

Посчитаем члены последовательности:

$F_1 = 1$

$F_2 = 1$

$F_3 = 2$

$F_4 = 3$

$F_5 = 5$

$F_6 = 8$

$F_7 = 13$

$F_8 = 21$

$F_9 = 34$

$F_{10} = 55$

$F_{11} = 89$

$F_{12} = 144$

$F_{13} = 233$

Таким образом, через год будет 233 пары кроликов. Если же считать, что вопрос "через год" означает "в 12-м месяце", то ответ будет $F_{12} = 144$. Классическая трактовка подразумевает количество пар в конце года, то есть 233.

Ответ: Через год будет 233 пары кроликов.

2) древнеегипетскую и древневавилонскую задачи, решаемые с использованием арифметической или геометрической прогрессии.

Древнеегипетская задача (из папируса Ахмеса, задача № 40)

Условие: Разделить 100 мер хлеба между 5 людьми так, чтобы второй получил на столько же больше первого, на сколько третий получил больше второго, четвертый больше третьего и пятый больше четвертого. Кроме того, двое первых получили в 7 раз меньше трех остальных.

Решение:

Эта задача сводится к нахождению пяти членов арифметической прогрессии. Пусть $a$ — доля первого человека, а $d$ — разность прогрессии. Тогда доли людей равны: $a, a+d, a+2d, a+3d, a+4d$.

Сумма всех долей равна 100:

$a + (a+d) + (a+2d) + (a+3d) + (a+4d) = 100$

$5a + 10d = 100$

Разделив на 5, получим первое уравнение: $a + 2d = 20$.

Из второго условия задачи следует, что сумма долей трех последних в 7 раз больше суммы долей двух первых:

$(a+2d) + (a+3d) + (a+4d) = 7 \cdot (a + (a+d))$

$3a + 9d = 7 \cdot (2a + d)$

$3a + 9d = 14a + 7d$

$2d = 11a$, или $d = \frac{11}{2}a$.

Теперь подставим выражение для $d$ в первое уравнение:

$a + 2 \cdot (\frac{11}{2}a) = 20$

$a + 11a = 20$

$12a = 20$

$a = \frac{20}{12} = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3}$

Теперь найдем разность $d$:

$d = \frac{11}{2} \cdot \frac{5}{3} = \frac{55}{6} = 9\frac{1}{6}$

Определим доли каждого из пяти человек:

• 1-й человек: $a = 1\frac{2}{3}$ мер.
• 2-й человек: $a+d = \frac{5}{3} + \frac{55}{6} = \frac{10}{6} + \frac{55}{6} = \frac{65}{6} = 10\frac{5}{6}$ мер.
• 3-й человек: $a+2d = \frac{5}{3} + 2 \cdot \frac{55}{6} = \frac{5}{3} + \frac{55}{3} = \frac{60}{3} = 20$ мер.
• 4-й человек: $a+3d = \frac{5}{3} + 3 \cdot \frac{55}{6} = \frac{10}{6} + \frac{165}{6} = \frac{175}{6} = 29\frac{1}{6}$ мер.
• 5-й человек: $a+4d = \frac{5}{3} + 4 \cdot \frac{55}{6} = \frac{10}{6} + \frac{220}{6} = \frac{230}{6} = 38\frac{1}{3}$ мер.

Проверка: $1\frac{2}{3} + 10\frac{5}{6} + 20 + 29\frac{1}{6} + 38\frac{1}{3} = \frac{5}{3} + \frac{65}{6} + 20 + \frac{175}{6} + \frac{115}{3} = \frac{10+65+120+175+230}{6} = \frac{600}{6} = 100$. Условие выполняется.

Ответ: Доли хлеба составляют $1\frac{2}{3}, 10\frac{5}{6}, 20, 29\frac{1}{6}, 38\frac{1}{3}$ мер.

Древневавилонская задача (начисление сложных процентов)

Условие: Найти, за какое время сумма денег, отданная в рост, удвоится, если она растет на 20% в год (сложные проценты).

Решение:

Эта задача на вычисление срока по правилу сложных процентов, что представляет собой применение геометрической прогрессии. Пусть начальная сумма равна $S$. Каждый год она увеличивается на 20%, то есть умножается на коэффициент $1 + \frac{20}{100} = 1.2$.

Суммы в конце каждого года образуют геометрическую прогрессию:

• В конце 1-го года: $S \cdot 1.2$
• В конце 2-го года: $(S \cdot 1.2) \cdot 1.2 = S \cdot (1.2)^2$
• В конце n-го года: $S \cdot (1.2)^n$

Мы ищем такое число лет $n$, при котором итоговая сумма станет равна $2S$:

$S \cdot (1.2)^n = 2S$

Разделим обе части на $S$:

$(1.2)^n = 2$

Вавилоняне не знали логарифмов, поэтому решали такие задачи подбором, вычисляя результат для каждого года:

• $n=1: (1.2)^1 = 1.2$
• $n=2: (1.2)^2 = 1.44$
• $n=3: (1.2)^3 = 1.728$
• $n=4: (1.2)^4 = 2.0736$

Из вычислений видно, что после 3 лет сумма еще не удвоится ($1.728S < 2S$), а после 4 лет уже превысит удвоенную сумму ($2.0736S > 2S$). Следовательно, удвоение произойдет в течение четвертого года.

Современное решение с помощью логарифмов дает более точный ответ:

$n = \log_{1.2}(2) = \frac{\ln(2)}{\ln(1.2)} \approx \frac{0.693}{0.182} \approx 3.8$ лет.

Ответ: Сумма удвоится в течение 4-го года (приблизительно через 3.8 года).