Номер 522, страница 154 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

21. Градусная и радианная меры углов и дуг. IV. Тригонометрия - номер 522, страница 154.

Условие.

522. В $\triangle ABC$ $\angle C = \frac{\pi}{2}$. Найдите радианную и градусную меры угла B,

если угол A равен:

a) $\frac{\pi}{3}$;

б) $\frac{\pi}{4}$;

в) $\frac{\pi}{5}$;

г) $\frac{\pi}{6}$;

д) $\frac{2\pi}{9}$;

е) $\frac{\pi}{12}$.

Решение.

Решение 2 (rus).

Поскольку сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$ или $\pi$ радиан, а в данном треугольнике $\triangle ABC$ угол $\angle C = \frac{\pi}{2}$ (то есть $90^\circ$), то сумма двух других углов, $\angle A$ и $\angle B$, равна $180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$ или $\pi - \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2}$ радиан. Таким образом, чтобы найти угол $B$, мы будем использовать формулу: $\angle B = \frac{\pi}{2} - \angle A$.

Для перевода радианной меры в градусную используется соотношение: $1 \text{ радиан} = \frac{180^\circ}{\pi}$.

а) Если $\angle A = \frac{\pi}{3}$, то радианная мера угла $B$ равна:
$\angle B = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3} = \frac{3\pi - 2\pi}{6} = \frac{\pi}{6}$ радиан.
Градусная мера угла $B$ равна:
$\frac{\pi}{6} \cdot \frac{180^\circ}{\pi} = \frac{180^\circ}{6} = 30^\circ$.
Ответ: $\frac{\pi}{6}$ радиан, $30^\circ$.

б) Если $\angle A = \frac{\pi}{4}$, то радианная мера угла $B$ равна:
$\angle B = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} = \frac{2\pi - \pi}{4} = \frac{\pi}{4}$ радиан.
Градусная мера угла $B$ равна:
$\frac{\pi}{4} \cdot \frac{180^\circ}{\pi} = \frac{180^\circ}{4} = 45^\circ$.
Ответ: $\frac{\pi}{4}$ радиан, $45^\circ$.

в) Если $\angle A = \frac{\pi}{5}$, то радианная мера угла $B$ равна:
$\angle B = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{5} = \frac{5\pi - 2\pi}{10} = \frac{3\pi}{10}$ радиан.
Градусная мера угла $B$ равна:
$\frac{3\pi}{10} \cdot \frac{180^\circ}{\pi} = 3 \cdot 18^\circ = 54^\circ$.
Ответ: $\frac{3\pi}{10}$ радиан, $54^\circ$.

г) Если $\angle A = \frac{\pi}{6}$, то радианная мера угла $B$ равна:
$\angle B = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi - \pi}{6} = \frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{3}$ радиан.
Градусная мера угла $B$ равна:
$\frac{\pi}{3} \cdot \frac{180^\circ}{\pi} = \frac{180^\circ}{3} = 60^\circ$.
Ответ: $\frac{\pi}{3}$ радиан, $60^\circ$.

д) Если $\angle A = \frac{2\pi}{9}$, то радианная мера угла $B$ равна:
$\angle B = \frac{\pi}{2} - \frac{2\pi}{9} = \frac{9\pi - 4\pi}{18} = \frac{5\pi}{18}$ радиан.
Градусная мера угла $B$ равна:
$\frac{5\pi}{18} \cdot \frac{180^\circ}{\pi} = 5 \cdot 10^\circ = 50^\circ$.
Ответ: $\frac{5\pi}{18}$ радиан, $50^\circ$.

е) Если $\angle A = \frac{\pi}{12}$, то радианная мера угла $B$ равна:
$\angle B = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{12} = \frac{6\pi - \pi}{12} = \frac{5\pi}{12}$ радиан.
Градусная мера угла $B$ равна:
$\frac{5\pi}{12} \cdot \frac{180^\circ}{\pi} = 5 \cdot 15^\circ = 75^\circ$.
Ответ: $\frac{5\pi}{12}$ радиан, $75^\circ$.