Номер 528, страница 154 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

21. Градусная и радианная меры углов и дуг. IV. Тригонометрия - номер 528, страница 154.

Условие.

528. Отметьте на единичной окружности точку $B_{\alpha}$, соответствующую углу поворота, равному:

а) $315^{\circ}$;

б) $930^{\circ}$;

в) $-1740^{\circ}$;

г) $-2025^{\circ}$.

Решение.

Решение 2 (rus).

а) Чтобы отметить на единичной окружности точку $B_{315^\circ}$, совершаем поворот от начальной точки $(1, 0)$ против часовой стрелки на угол $315^\circ$. Так как $270^\circ < 315^\circ < 360^\circ$, точка будет расположена в четвертой координатной четверти. Угол можно представить в виде $315^\circ = 360^\circ - 45^\circ$. Это означает, что точка $B_{315^\circ}$ находится на том же месте, что и точка, полученная поворотом на $45^\circ$ по часовой стрелке. Она лежит на биссектрисе четвертого координатного угла.

Ответ: Точка $B_{315^\circ}$ находится в четвертой четверти единичной окружности и совпадает с точкой для угла $-45^\circ$.

б) Угол $930^\circ$ больше полного оборота ($360^\circ$). Чтобы найти положение соответствующей точки, найдем остаток от деления угла на $360^\circ$. Представим угол в виде $930^\circ = k \cdot 360^\circ + \alpha$, где $k$ — число полных оборотов.$930^\circ = 2 \cdot 360^\circ + 210^\circ = 720^\circ + 210^\circ$.Это означает, что мы совершаем два полных оборота против часовой стрелки и затем дополнительный поворот на $210^\circ$. Таким образом, положение точки $B_{930^\circ}$ совпадает с положением точки $B_{210^\circ}$. Так как $180^\circ < 210^\circ < 270^\circ$, точка находится в третьей координатной четверти. Угол можно представить как $210^\circ = 180^\circ + 30^\circ$.

Ответ: Точка $B_{930^\circ}$ находится в третьей четверти единичной окружности и совпадает с точкой для угла $210^\circ$.

в) Отрицательный угол $-1740^\circ$ означает поворот по часовой стрелке. Чтобы найти положение точки, можно прибавлять полные обороты ($360^\circ$), пока не получим эквивалентный положительный угол в диапазоне от $0^\circ$ до $360^\circ$. Найдем такое целое $k$, чтобы $ -1740^\circ + k \cdot 360^\circ > 0 $.$k \cdot 360^\circ > 1740^\circ \implies k > \frac{1740}{360} \approx 4.83$.Берем наименьшее целое $k=5$.$-1740^\circ + 5 \cdot 360^\circ = -1740^\circ + 1800^\circ = 60^\circ$.Следовательно, положение точки $B_{-1740^\circ}$ совпадает с положением точки $B_{60^\circ}$. Эта точка находится в первой координатной четверти.

Ответ: Точка $B_{-1740^\circ}$ находится в первой четверти единичной окружности и совпадает с точкой для угла $60^\circ$.

г) Для отрицательного угла $-2025^\circ$ действуем аналогично предыдущему пункту. Найдем эквивалентный положительный угол, прибавляя полные обороты.$-2025^\circ + k \cdot 360^\circ > 0 \implies k > \frac{2025}{360} = 5.625$.Берем наименьшее целое $k=6$.$-2025^\circ + 6 \cdot 360^\circ = -2025^\circ + 2160^\circ = 135^\circ$.Положение точки $B_{-2025^\circ}$ совпадает с положением точки $B_{135^\circ}$. Так как $90^\circ < 135^\circ < 180^\circ$, точка находится во второй координатной четверти. Угол можно представить как $135^\circ = 180^\circ - 45^\circ$, то есть точка лежит на биссектрисе второго координатного угла.

Ответ: Точка $B_{-2025^\circ}$ находится во второй четверти единичной окружности и совпадает с точкой для угла $135^\circ$.