Номер 534, страница 155 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

21. Градусная и радианная меры углов и дуг. IV. Тригонометрия - номер 534, страница 155.

Условие.

534. Укажите в радианах все углы, соответствующие точкам координатной окружности, изображенным на рисунке 54.

а)

б)

в)

г)

Рисунок 54

Решение.

Решение 2 (rus).

а) Для нахождения углов, соответствующих точкам B и C, проанализируем рисунок. Углы по $60^\circ$ отложены от положительного направления оси Oy. Угол, соответствующий положительному направлению оси Oy, равен $90^\circ$ или $\frac{\pi}{2}$ радиан.
Точка B находится в первой четверти. Угол для точки B меньше $90^\circ$ на $60^\circ$, то есть: $\alpha_B = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$.
Переведем в радианы: $30^\circ = 30 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{6}$ радиан.
Точка C находится во второй четверти. Угол для точки C больше $90^\circ$ на $60^\circ$, то есть: $\alpha_C = 90^\circ + 60^\circ = 150^\circ$.
Переведем в радианы: $150^\circ = 150 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{5\pi}{6}$ радиан.
Так как полный оборот по окружности составляет $2\pi$ радиан, то для нахождения всех углов необходимо к найденным значениям прибавить $2\pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).
Ответ: Для точки B: $\frac{\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$. Для точки C: $\frac{5\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

б) Углы для точек D и K отложены от положительного направления оси Ox.
Точка D находится в первой четверти. Угол отложен против часовой стрелки, поэтому он положительный: $\alpha_D = 30^\circ$.
Переведем в радианы: $30^\circ = 30 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{6}$ радиан.
Точка K находится в четвертой четверти. Угол отложен по часовой стрелке, поэтому он отрицательный: $\alpha_K = -30^\circ$.
Переведем в радианы: $-30^\circ = -30 \cdot \frac{\pi}{180} = -\frac{\pi}{6}$ радиан.
Общая формула для всех углов, соответствующих этим точкам, получается добавлением $2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: Для точки D: $\frac{\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$. Для точки K: $-\frac{\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

в) Точка N находится в четвертой четверти. Угол для нее отложен от положительного направления оси Ox по часовой стрелке и равен $45^\circ$, значит, его значение $\alpha_N = -45^\circ$.
Переведем в радианы: $-45^\circ = -45 \cdot \frac{\pi}{180} = -\frac{\pi}{4}$ радиан.
Точка M диаметрально противоположна точке N, так как отрезок MN проходит через центр окружности. Это значит, что их углы отличаются на $180^\circ$ (или $\pi$ радиан).
Угол для точки M: $\alpha_M = -45^\circ + 180^\circ = 135^\circ$.
Переведем в радианы: $135^\circ = 135 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{3\pi}{4}$ радиан.
Общая формула для всех углов, соответствующих этим точкам, получается добавлением $2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: Для точки M: $\frac{3\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$. Для точки N: $-\frac{\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

г) Точки E и F лежат на оси Oy.
Точка E находится на положительной части оси Oy. Этому положению соответствует угол $90^\circ$.
В радианах: $90^\circ = \frac{\pi}{2}$ радиан.
Точка F находится на отрицательной части оси Oy. Этому положению соответствует угол $270^\circ$ или, что то же самое при движении по часовой стрелке, $-90^\circ$.
В радианах: $270^\circ = \frac{3\pi}{2}$ радиан, или $-90^\circ = -\frac{\pi}{2}$ радиан.
Общая формула для всех углов, соответствующих этим точкам, получается добавлением $2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: Для точки E: $\frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$. Для точки F: $\frac{3\pi}{2} + 2\pi k$ (или $-\frac{\pi}{2} + 2\pi k$), $k \in \mathbb{Z}$.