Номер 538, страница 156 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

21. Градусная и радианная меры углов и дуг. IV. Тригонометрия - номер 538, страница 156.

Условие.

538. Начальный радиус $OA$ при повороте на угол $\beta$ переходит в радиус $OB$. Чему равен $\beta$, если известно, что:

а) $\beta$ – угол I четверти и $\angle AOB = \frac{\pi}{6}$;

б) $\beta$ – угол II четверти и $\angle AOB = \frac{2\pi}{3}$;

в) $\beta$ – угол III четверти и $\angle AOB = \frac{3\pi}{4}$;

г) $\beta$ – угол IV четверти и $\angle AOB = \frac{\pi}{4}$?

Решение.

Решение 2 (rus).

а) По условию, начальный радиус $OA$ поворачивается на угол $ \beta $, который является углом I четверти. Это означает, что $ 0 < \beta < \frac{\pi}{2} $. Примем, что начальный радиус $OA$ расположен вдоль положительной полуоси Ox. Тогда радиус $OB$ будет образовывать с $OA$ угол, равный $ \beta $. Угол $ \angle AOB $ — это наименьший положительный угол между радиусами $OA$ и $OB$. Для углов в первой четверти ($ 0 < \beta \le \pi $), этот наименьший угол совпадает с самим углом поворота $ \beta $.Следовательно, $ \angle AOB = \beta $.Из условия известно, что $ \angle AOB = \frac{\pi}{6} $.Таким образом, $ \beta = \frac{\pi}{6} $.Это значение удовлетворяет условию, что $ \beta $ — угол I четверти, так как $ 0 < \frac{\pi}{6} < \frac{\pi}{2} $.
Ответ: $ \beta = \frac{\pi}{6} $.

б) Угол $ \beta $ является углом II четверти, что означает $ \frac{\pi}{2} < \beta < \pi $. Как и в предыдущем случае, для углов $ \beta $ в диапазоне $ (0, \pi] $, наименьший угол между начальным радиусом $OA$ и конечным $OB$ равен самому углу поворота $ \beta $.Следовательно, $ \angle AOB = \beta $.Из условия известно, что $ \angle AOB = \frac{2\pi}{3} $.Таким образом, $ \beta = \frac{2\pi}{3} $.Проверим, что это значение соответствует II четверти: $ \frac{\pi}{2} < \frac{2\pi}{3} < \pi $. Если привести дроби к общему знаменателю 6, получим $ \frac{3\pi}{6} < \frac{4\pi}{6} < \frac{6\pi}{6} $, что является верным неравенством.
Ответ: $ \beta = \frac{2\pi}{3} $.

в) Угол $ \beta $ является углом III четверти, что означает $ \pi < \beta < \frac{3\pi}{2} $. В этом случае конечный радиус $OB$ находится в третьей четверти. Наименьший угол между начальным радиусом $OA$ (на положительной полуоси Ox) и радиусом $OB$ (в третьей четверти) определяется как разность полного угла $ 2\pi $ и угла поворота $ \beta $.Следовательно, $ \angle AOB = 2\pi - \beta $.Из условия известно, что $ \angle AOB = \frac{3\pi}{4} $.Составим уравнение: $ \frac{3\pi}{4} = 2\pi - \beta $.Выразим $ \beta $: $ \beta = 2\pi - \frac{3\pi}{4} = \frac{8\pi}{4} - \frac{3\pi}{4} = \frac{5\pi}{4} $.Проверим, что полученное значение $ \beta $ находится в III четверти: $ \pi < \frac{5\pi}{4} < \frac{3\pi}{2} $. Если привести к общему знаменателю 4, получим $ \frac{4\pi}{4} < \frac{5\pi}{4} < \frac{6\pi}{4} $, что является верным неравенством.
Ответ: $ \beta = \frac{5\pi}{4} $.

г) Угол $ \beta $ является углом IV четверти, что означает $ \frac{3\pi}{2} < \beta < 2\pi $. Аналогично предыдущему пункту, для угла поворота в IV четверти наименьший угол между начальным и конечным радиусами вычисляется по формуле $ \angle AOB = 2\pi - \beta $.Из условия известно, что $ \angle AOB = \frac{\pi}{4} $.Составим уравнение: $ \frac{\pi}{4} = 2\pi - \beta $.Выразим $ \beta $: $ \beta = 2\pi - \frac{\pi}{4} = \frac{8\pi}{4} - \frac{\pi}{4} = \frac{7\pi}{4} $.Проверим, что полученное значение $ \beta $ находится в IV четверти: $ \frac{3\pi}{2} < \frac{7\pi}{4} < 2\pi $. Если привести к общему знаменателю 4, получим $ \frac{6\pi}{4} < \frac{7\pi}{4} < \frac{8\pi}{4} $, что является верным неравенством.
Ответ: $ \beta = \frac{7\pi}{4} $.