Номер 541, страница 157 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

21. Градусная и радианная меры углов и дуг. IV. Тригонометрия - номер 541, страница 157.

Условие.

541. На координатной окружности отмечены точки A, B, C, D, соответствующие углам поворота, равным $0, \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}$ и $-\frac{\pi}{3}$ соответственно (рисунок 55). Запишите двойное неравенство, которому удовлетворяют все углы $\beta$, соответствующие точкам меньшей из дуг:

а) AB;

б) DA;

в) BC;

г) CD.

Рисунок 55

Решение.

Решение 2 (rus).

Для решения задачи необходимо для каждой пары точек определить, какая из двух дуг, соединяющих их, является меньшей, и записать двойное неравенство для углов $\beta$, соответствующих точкам этой дуги. Движение по окружности против часовой стрелки соответствует увеличению угла.

Заданные точки и соответствующие им углы:
A: $\alpha_A = 0$
B: $\alpha_B = \frac{\pi}{6}$
C: $\alpha_C = \frac{5\pi}{6}$
D: $\alpha_D = -\frac{\pi}{3}$

а) AB
Точка A соответствует углу 0, а точка B — углу $\frac{\pi}{6}$. Меньшая дуга AB образуется при движении от A к B против часовой стрелки. Длина этой дуги в радианах равна $\frac{\pi}{6} - 0 = \frac{\pi}{6}$, что меньше половины окружности ($\pi$). Углы $\beta$, соответствующие точкам на этой дуге, лежат между 0 и $\frac{\pi}{6}$. С учётом периодичности, неравенство для всех таких углов имеет вид: $0 + 2\pi k < \beta < \frac{\pi}{6} + 2\pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).
Ответ: $2\pi k < \beta < \frac{\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

б) DA
Точка D соответствует углу $-\frac{\pi}{3}$, а точка A — углу 0. Меньшая дуга DA образуется при движении от D к A против часовой стрелки. Длина этой дуги в радианах равна $0 - (-\frac{\pi}{3}) = \frac{\pi}{3}$, что меньше $\pi$. Углы $\beta$, соответствующие точкам на этой дуге, лежат между $-\frac{\pi}{3}$ и 0. Общее неравенство с учётом периодичности: $-\frac{\pi}{3} + 2\pi k < \beta < 0 + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $-\frac{\pi}{3} + 2\pi k < \beta < 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

в) BC
Точка B соответствует углу $\frac{\pi}{6}$, а точка C — углу $\frac{5\pi}{6}$. Меньшая дуга BC образуется при движении от B к C против часовой стрелки. Длина этой дуги в радианах равна $\frac{5\pi}{6} - \frac{\pi}{6} = \frac{4\pi}{6} = \frac{2\pi}{3}$, что меньше $\pi$. Углы $\beta$, соответствующие точкам на этой дуге, лежат между $\frac{\pi}{6}$ и $\frac{5\pi}{6}$. С учётом периодичности, неравенство записывается как: $\frac{\pi}{6} + 2\pi k < \beta < \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $\frac{\pi}{6} + 2\pi k < \beta < \frac{5\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

г) CD
Точка C соответствует углу $\frac{5\pi}{6}$, а точка D — углу $-\frac{\pi}{3}$. Для удобства сравнения представим угол точки D в виде положительного угла, принадлежащего первому положительному обороту: $\alpha_D' = -\frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{5\pi}{3}$. Теперь определим меньшую дугу. Дуга от C к D против часовой стрелки имеет длину $\frac{5\pi}{3} - \frac{5\pi}{6} = \frac{10\pi - 5\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$. Так как $\frac{5\pi}{6} < \pi$, это и есть меньшая дуга. Углы $\beta$ для точек на этой дуге лежат между $\frac{5\pi}{6}$ и $\frac{5\pi}{3}$. Общее неравенство с учётом периодичности: $\frac{5\pi}{6} + 2\pi k < \beta < \frac{5\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $\frac{5\pi}{6} + 2\pi k < \beta < \frac{5\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.