Номер 544, страница 164 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

22. Синус, косинус, тангенс и котангенс произвольного угла. IV. Тригонометрия - номер 544, страница 164.

Условие.

544. Может ли значение тангенса или котангенса какого-либо угла быть:

а) больше $10$;

б) меньше $-5$?

Решение.

Решение 2 (rus).

а) Да, может. Областью значений функций тангенса ($ \tan \alpha $) и котангенса ($ \cot \alpha $) является множество всех действительных чисел, то есть интервал $ (-\infty; +\infty) $. Это означает, что и тангенс, и котангенс могут принимать любое, сколь угодно большое положительное значение.

Рассмотрим тангенс, который определяется формулой $ \tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} $. Когда угол $ \alpha $ приближается к $ 90^\circ $ ($ \frac{\pi}{2} $ радиан), оставаясь в первой четверти, значение $ \sin \alpha $ стремится к 1, а значение $ \cos \alpha $ стремится к 0, оставаясь положительным. В результате их отношение, $ \tan \alpha $, неограниченно возрастает и стремится к $ +\infty $. Следовательно, всегда можно найти такой угол $ \alpha $, для которого $ \tan \alpha $ будет больше любого заданного положительного числа, в том числе и больше 10.

Аналогичная ситуация и с котангенсом, который определяется как $ \cot \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} $. Когда угол $ \alpha $ приближается к $ 0^\circ $, оставаясь в первой четверти, $ \cos \alpha $ стремится к 1, а $ \sin \alpha $ стремится к 0 (оставаясь положительным). Поэтому $ \cot \alpha $ также стремится к $ +\infty $, а значит, может быть больше 10.

Ответ: да, может.

б) Да, может. Как было указано выше, область значений и тангенса, и котангенса — это все действительные числа от $ -\infty $ до $ +\infty $. Это включает в себя любые отрицательные числа.

Рассмотрим тангенс. Когда угол $ \alpha $ приближается к $ 90^\circ $ ($ \frac{\pi}{2} $ радиан), но уже из второй четверти (то есть $ \alpha > 90^\circ $), значение $ \sin \alpha $ по-прежнему стремится к 1, но $ \cos \alpha $ теперь стремится к 0, будучи отрицательным. В результате отношение $ \tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} $ стремится к $ -\infty $. Следовательно, найдется такой угол, для которого $ \tan \alpha $ будет меньше любого заданного отрицательного числа, например, меньше –5.

Для котангенса, если угол $ \alpha $ приближается к $ 180^\circ $ ($ \pi $ радиан) из второй четверти, то $ \cos \alpha $ стремится к –1, а $ \sin \alpha $ стремится к 0 (оставаясь положительным). В этом случае $ \cot \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} $ стремится к $ -\infty $, а значит, его значение может быть меньше –5.

Ответ: да, может.