Номер 548, страница 165 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

22. Синус, косинус, тангенс и котангенс произвольного угла. IV. Тригонометрия - номер 548, страница 165.

Условие.

548. Найдите значение выражения:

a) $2\cos 60^\circ - \sqrt{3} \sin 60^\circ \cdot \operatorname{tg} 45^\circ$

б) $6\sin 60^\circ - 2\sqrt{3} \operatorname{ctg} 60^\circ \cdot \cos 30^\circ$

в) $4\sin 45^\circ \cdot \operatorname{tg} 30^\circ \cdot \operatorname{ctg} 30^\circ - \cos 45^\circ$

г) $\operatorname{tg} 60^\circ \cdot \operatorname{ctg} 30^\circ - \cos 180^\circ + \sin 90^\circ$

Решение.

Решение 2 (rus).

а) $2\cos 60^\circ - \sqrt{3} \sin 60^\circ \cdot \tg 45^\circ$.
Для решения подставим табличные значения тригонометрических функций: $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$, $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\tg 45^\circ = 1$.
Подставляем значения в выражение: $2 \cdot \frac{1}{2} - \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1 = 1 - \frac{3}{2} = \frac{2}{2} - \frac{3}{2} = -\frac{1}{2}$.
Ответ: $-0,5$.

б) $6\sin 60^\circ - 2\sqrt{3} \ctg 60^\circ \cdot \cos 30^\circ$.
Используем табличные значения: $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\ctg 60^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}$ и $\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Подставляем в выражение: $6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - 2\sqrt{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3} - 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3} - \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$.
Ответ: $2\sqrt{3}$.

в) $4\sin 45^\circ \cdot \tg 30^\circ \cdot \ctg 30^\circ - \cos 45^\circ$.
Зная, что произведение тангенса и котангенса одного и того же угла равно единице ($\tg \alpha \cdot \ctg \alpha = 1$), выражение можно упростить. Также используем значения: $\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Получаем: $4\sin 45^\circ \cdot 1 - \cos 45^\circ = 4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{4\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{3\sqrt{2}}{2}$.
Ответ: $\frac{3\sqrt{2}}{2}$.

г) $\tg 60^\circ \cdot \ctg 30^\circ - \cos 180^\circ + \sin 90^\circ$.
Подставим известные значения тригонометрических функций: $\tg 60^\circ = \sqrt{3}$, $\ctg 30^\circ = \sqrt{3}$, $\cos 180^\circ = -1$ и $\sin 90^\circ = 1$.
Выполняем вычисления: $\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} - (-1) + 1 = 3 + 1 + 1 = 5$.
Ответ: $5$.