Номер 552, страница 165 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

22. Синус, косинус, тангенс и котангенс произвольного угла. IV. Тригонометрия - номер 552, страница 165.

Условие.

552. Как меняется значение $sin \alpha$, если $\alpha$ изменяется:

а) от $-\frac{\pi}{2}$ до $\frac{\pi}{2}$;

б) от $\frac{\pi}{2}$ до $\frac{3\pi}{2}$?

Решение.

Решение 2 (rus).

а) Чтобы определить, как меняется значение $sin \alpha$, когда угол $\alpha$ изменяется от $-\frac{\pi}{2}$ до $\frac{\pi}{2}$, мы можем использовать единичную окружность или график функции $y = sin(x)$.

На единичной окружности значение $sin \alpha$ соответствует ординате (координате y) точки, полученной поворотом точки $(1, 0)$ на угол $\alpha$.

При $\alpha = -\frac{\pi}{2}$ точка находится в самом низу окружности и имеет координаты $(0, -1)$. Следовательно, $sin(-\frac{\pi}{2}) = -1$.

При $\alpha = \frac{\pi}{2}$ точка находится в самом верху окружности и имеет координаты $(0, 1)$. Следовательно, $sin(\frac{\pi}{2}) = 1$.

Когда угол $\alpha$ увеличивается от $-\frac{\pi}{2}$ до $\frac{\pi}{2}$, точка на единичной окружности движется по правой дуге снизу вверх. При этом ее ордината (координата y) монотонно возрастает от -1 до 1. Это соответствует I и IV координатным четвертям, где функция синуса возрастает.

Ответ: значение $sin \alpha$ возрастает от -1 до 1.

б) Рассмотрим, как меняется значение $sin \alpha$, когда угол $\alpha$ изменяется от $\frac{\pi}{2}$ до $\frac{3\pi}{2}$.

Начальное значение угла $\alpha = \frac{\pi}{2}$. Как мы уже определили, $sin(\frac{\pi}{2}) = 1$.

Конечное значение угла $\alpha = \frac{3\pi}{2}$. Этот угол соответствует самой нижней точке единичной окружности с координатами $(0, -1)$. Следовательно, $sin(\frac{3\pi}{2}) = -1$.

Когда угол $\alpha$ увеличивается от $\frac{\pi}{2}$ до $\frac{3\pi}{2}$, точка на единичной окружности движется по левой дуге сверху вниз, проходя через II и III координатные четверти. Во II четверти (от $\frac{\pi}{2}$ до $\pi$) синус убывает от 1 до 0. В III четверти (от $\pi$ до $\frac{3\pi}{2}$) синус продолжает убывать от 0 до -1. Таким образом, на всем интервале от $\frac{\pi}{2}$ до $\frac{3\pi}{2}$ функция синуса монотонно убывает.

Ответ: значение $sin \alpha$ убывает от 1 до -1.