Номер 556, страница 166 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

22. Синус, косинус, тангенс и котангенс произвольного угла. IV. Тригонометрия - номер 556, страница 166.

Условие.

556. Сравните с нулем значение выражения:

a) $\sin 121^\circ \cdot \sin 153^\circ;$

б) $\cos 260^\circ \cdot \cos 315^\circ;$

в) $\cos 310^\circ \cdot \sin 115^\circ;$

г) $\tan 115^\circ \cdot \sin 172^\circ;$

д) $\cos 300^\circ \cdot \cot 130^\circ;$

e) $\tan 78^\circ \cdot \cot 190^\circ.$

Решение.

Решение 2 (rus).

а) Чтобы сравнить значение выражения $sin 121^\circ \cdot sin 153^\circ$ с нулем, определим знаки каждого из множителей.
Угол $121^\circ$ принадлежит второй координатной четверти ($90^\circ < 121^\circ < 180^\circ$). В этой четверти синус имеет положительный знак, поэтому $sin 121^\circ > 0$.
Угол $153^\circ$ также принадлежит второй координатной четверти ($90^\circ < 153^\circ < 180^\circ$), поэтому $sin 153^\circ > 0$.
Произведение двух положительных чисел является положительным.
Следовательно, $sin 121^\circ \cdot sin 153^\circ > 0$.
Ответ: выражение больше нуля.

б) Рассмотрим выражение $cos 260^\circ \cdot cos 315^\circ$.
Угол $260^\circ$ принадлежит третьей координатной четверти ($180^\circ < 260^\circ < 270^\circ$). В этой четверти косинус имеет отрицательный знак, поэтому $cos 260^\circ < 0$.
Угол $315^\circ$ принадлежит четвертой координатной четверти ($270^\circ < 315^\circ < 360^\circ$). В этой четверти косинус имеет положительный знак, поэтому $cos 315^\circ > 0$.
Произведение отрицательного и положительного чисел является отрицательным.
Следовательно, $cos 260^\circ \cdot cos 315^\circ < 0$.
Ответ: выражение меньше нуля.

в) Рассмотрим выражение $cos 310^\circ \cdot sin 115^\circ$.
Угол $310^\circ$ принадлежит четвертой координатной четверти ($270^\circ < 310^\circ < 360^\circ$). В этой четверти косинус имеет положительный знак, поэтому $cos 310^\circ > 0$.
Угол $115^\circ$ принадлежит второй координатной четверти ($90^\circ < 115^\circ < 180^\circ$). В этой четверти синус имеет положительный знак, поэтому $sin 115^\circ > 0$.
Произведение двух положительных чисел является положительным.
Следовательно, $cos 310^\circ \cdot sin 115^\circ > 0$.
Ответ: выражение больше нуля.

г) Рассмотрим выражение $tg 115^\circ \cdot sin 172^\circ$.
Угол $115^\circ$ принадлежит второй координатной четверти ($90^\circ < 115^\circ < 180^\circ$). В этой четверти тангенс имеет отрицательный знак, поэтому $tg 115^\circ < 0$.
Угол $172^\circ$ также принадлежит второй координатной четверти ($90^\circ < 172^\circ < 180^\circ$). В этой четверти синус имеет положительный знак, поэтому $sin 172^\circ > 0$.
Произведение отрицательного и положительного чисел является отрицательным.
Следовательно, $tg 115^\circ \cdot sin 172^\circ < 0$.
Ответ: выражение меньше нуля.

д) Рассмотрим выражение $cos 300^\circ \cdot ctg 130^\circ$.
Угол $300^\circ$ принадлежит четвертой координатной четверти ($270^\circ < 300^\circ < 360^\circ$). В этой четверти косинус имеет положительный знак, поэтому $cos 300^\circ > 0$.
Угол $130^\circ$ принадлежит второй координатной четверти ($90^\circ < 130^\circ < 180^\circ$). В этой четверти котангенс имеет отрицательный знак, поэтому $ctg 130^\circ < 0$.
Произведение положительного и отрицательного чисел является отрицательным.
Следовательно, $cos 300^\circ \cdot ctg 130^\circ < 0$.
Ответ: выражение меньше нуля.

е) Рассмотрим выражение $tg 78^\circ \cdot ctg 190^\circ$.
Угол $78^\circ$ принадлежит первой координатной четверти ($0^\circ < 78^\circ < 90^\circ$). В этой четверти тангенс имеет положительный знак, поэтому $tg 78^\circ > 0$.
Угол $190^\circ$ принадлежит третьей координатной четверти ($180^\circ < 190^\circ < 270^\circ$). В этой четверти котангенс имеет положительный знак, поэтому $ctg 190^\circ > 0$.
Произведение двух положительных чисел является положительным.
Следовательно, $tg 78^\circ \cdot ctg 190^\circ > 0$.
Ответ: выражение больше нуля.