Номер 563, страница 166 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

22. Синус, косинус, тангенс и котангенс произвольного угла. IV. Тригонометрия - номер 563, страница 166.

Условие.

563. Сравните:

а) $ \sin 1^\circ $ и $ \sin 1 $;

б) $ \cos 1^\circ $ и $ \cos 1 $;

в) $ \operatorname{tg} 1^\circ $ и $ \operatorname{tg} 1 $;

г) $ \operatorname{ctg} 1^\circ $ и $ \operatorname{ctg} 1 $.

Решение.

Решение 2 (rus).

Для решения этой задачи необходимо сравнить значения тригонометрических функций от углов, заданных в градусах и в радианах. Ключевой момент — это перевод радиан в градусы для понимания, какой из углов больше.

Связь между радианной и градусной мерой угла определяется соотношением: $\pi \text{ радиан} = 180°$.

Отсюда можно найти значение одного радиана в градусах: $1 \text{ радиан} = \frac{180°}{\pi}$. Используя приближенное значение $\pi \approx 3.14159$, получаем: $1 \text{ радиан} \approx \frac{180°}{3.14159} \approx 57.3°$.

Таким образом, мы видим, что $1° < 1 \text{ радиан}$. Оба угла, $1°$ и $1$ радиан (около $57.3°$), находятся в первой координатной четверти (от $0°$ до $90°$ или от $0$ до $\pi/2$ радиан). В этой четверти нам известно поведение тригонометрических функций.

а) Сравнить $\sin 1°$ и $\sin 1$.
Функция $y = \sin x$ является возрастающей на промежутке $(0; \pi/2)$. Это означает, что для двух углов $x_1$ и $x_2$ из этого промежутка, если $x_1 < x_2$, то $\sin x_1 < \sin x_2$.
Поскольку $1° < 1 \text{ радиан}$, то $\sin 1° < \sin 1$.
Ответ: $\sin 1° < \sin 1$.

б) Сравнить $\cos 1°$ и $\cos 1$.
Функция $y = \cos x$ является убывающей на промежутке $(0; \pi/2)$. Это означает, что для двух углов $x_1$ и $x_2$ из этого промежутка, если $x_1 < x_2$, то $\cos x_1 > \cos x_2$.
Поскольку $1° < 1 \text{ радиан}$, то $\cos 1° > \cos 1$.
Ответ: $\cos 1° > \cos 1$.

в) Сравнить $\text{tg } 1°$ и $\text{tg } 1$.
Функция $y = \text{tg } x$ является возрастающей на промежутке $(0; \pi/2)$. Это означает, что для двух углов $x_1$ и $x_2$ из этого промежутка, если $x_1 < x_2$, то $\text{tg } x_1 < \text{tg } x_2$.
Поскольку $1° < 1 \text{ радиан}$, то $\text{tg } 1° < \text{tg } 1$.
Ответ: $\text{tg } 1° < \text{tg } 1$.

г) Сравнить $\text{ctg } 1°$ и $\text{ctg } 1$.
Функция $y = \text{ctg } x$ является убывающей на промежутке $(0; \pi/2)$. Это означает, что для двух углов $x_1$ и $x_2$ из этого промежутка, если $x_1 < x_2$, то $\text{ctg } x_1 > \text{ctg } x_2$.
Поскольку $1° < 1 \text{ радиан}$, то $\text{ctg } 1° > \text{ctg } 1$.
Ответ: $\text{ctg } 1° > \text{ctg } 1$.