Номер 568, страница 167 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

22. Синус, косинус, тангенс и котангенс произвольного угла. IV. Тригонометрия - номер 568, страница 167.

Условие.

568. На рисунке 65 на единичной окружности выделена дуга, все точки которой удовлетворяют условию:

а) $ \sin \alpha \le \frac{1}{2} $;

б) $ \cos \alpha \le \frac{\sqrt{2}}{2} $.

Запишите все значения $\alpha$, для которых выполняется указанное условие.

Рисунок 65

Решение.

Решение 2 (rus).

a) Требуется найти все значения $ \alpha $, для которых выполняется неравенство $ \sin \alpha \le \frac{1}{2} $.

Для решения этого тригонометрического неравенства сначала найдём углы, для которых выполняется равенство $ \sin \alpha = \frac{1}{2} $.

На единичной окружности этому равенству соответствуют точки с ординатой $ y = \frac{1}{2} $. В пределах одного оборота ($[0, 2\pi]$) это углы $ \alpha = \frac{\pi}{6} $ (в первой четверти) и $ \alpha = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6} $ (во второй четверти).

Общие решения уравнения $ \sin \alpha = \frac{1}{2} $ имеют вид: $ \alpha = \frac{\pi}{6} + 2\pi k $ и $ \alpha = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Теперь вернемся к неравенству $ \sin \alpha \le \frac{1}{2} $. Ему соответствуют все точки единичной окружности, у которых ордината (координата $y$) меньше или равна $ \frac{1}{2} $. Это дуга, которая начинается от угла $ \frac{5\pi}{6} $, проходит через углы $ \pi, \frac{3\pi}{2}, 2\pi $ и заканчивается в угле $ 2\pi + \frac{\pi}{6} = \frac{13\pi}{6} $.

Таким образом, искомые значения $ \alpha $ удовлетворяют неравенству $ \frac{5\pi}{6} \le \alpha \le \frac{13\pi}{6} $. С учётом периодичности функции синус ($2\pi$), общее решение можно записать как:

$ \frac{5\pi}{6} + 2\pi k \le \alpha \le \frac{13\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $.

Для более компактной записи можно использовать отрицательный угол, котерминальный углу $ \frac{5\pi}{6} $. Это угол $ \frac{5\pi}{6} - 2\pi = -\frac{7\pi}{6} $. Тогда решение можно записать как промежуток от $ -\frac{7\pi}{6} $ до $ \frac{\pi}{6} $.

Ответ: $ -\frac{7\pi}{6} + 2\pi k \le \alpha \le \frac{\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $.

б) Требуется найти все значения $ \alpha $, для которых выполняется неравенство $ \cos \alpha \le \frac{\sqrt{2}}{2} $.

Сначала решим уравнение $ \cos \alpha = \frac{\sqrt{2}}{2} $.

На единичной окружности этому равенству соответствуют точки с абсциссой $ x = \frac{\sqrt{2}}{2} $. В пределах одного оборота ($[0, 2\pi]$) это углы $ \alpha = \frac{\pi}{4} $ (в первой четверти) и $ \alpha = 2\pi - \frac{\pi}{4} = \frac{7\pi}{4} $ (в четвертой четверти).

Общие решения уравнения $ \cos \alpha = \frac{\sqrt{2}}{2} $ имеют вид: $ \alpha = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Неравенству $ \cos \alpha \le \frac{\sqrt{2}}{2} $ соответствуют все точки единичной окружности, у которых абсцисса (координата $x$) меньше или равна $ \frac{\sqrt{2}}{2} $. Это дуга, расположенная левее вертикальной прямой $ x = \frac{\sqrt{2}}{2} $.

Двигаясь по окружности против часовой стрелки, мы видим, что эта дуга начинается в точке, соответствующей углу $ \frac{\pi}{4} $, и заканчивается в точке, соответствующей углу $ \frac{7\pi}{4} $. Именно эта дуга выделена на рисунке б).

Таким образом, искомые значения $ \alpha $ на одном обороте удовлетворяют неравенству $ \frac{\pi}{4} \le \alpha \le \frac{7\pi}{4} $. С учётом периодичности функции косинус ($2\pi$), общее решение неравенства записывается как:

$ \frac{\pi}{4} + 2\pi k \le \alpha \le \frac{7\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ \frac{\pi}{4} + 2\pi k \le \alpha \le \frac{7\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $.