Номер 571, страница 168 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

22. Синус, косинус, тангенс и котангенс произвольного угла. IV. Тригонометрия - номер 571, страница 168.

Условие.

571. Упростите выражение:

a) $ \sin \alpha + \sin(-\alpha) + \cos(\pi - \alpha); $

б) $ \cos \alpha - \cos(-\alpha) - \sin(\pi - \alpha); $

в) $ \sin \alpha \cdot \operatorname{ctg}(\pi - \alpha) + \cos(-\alpha); $

г) $ \operatorname{tg} \alpha \cdot \cos(\pi - \alpha) + \sin(-\alpha). $

Решение.

Решение 2 (rus).

а) $\sin\alpha + \sin(-\alpha) + \cos(\pi - \alpha)$

Для упрощения данного выражения воспользуемся свойствами тригонометрических функций. Синус является нечетной функцией, поэтому $\sin(-\alpha) = -\sin\alpha$. Также применим формулу приведения для косинуса: $\cos(\pi - \alpha) = -\cos\alpha$, так как угол $(\pi - \alpha)$ находится во второй четверти, где косинус отрицателен.

Подставим эти значения в исходное выражение:

$\sin\alpha + (-\sin\alpha) + (-\cos\alpha) = \sin\alpha - \sin\alpha - \cos\alpha = -\cos\alpha$

Ответ: $-\cos\alpha$

б) $\cos\alpha - \cos(-\alpha) - \sin(\pi - \alpha)$

Для упрощения используем свойства четности и формулы приведения. Косинус является четной функцией, поэтому $\cos(-\alpha) = \cos\alpha$. Для синуса применим формулу приведения: $\sin(\pi - \alpha) = \sin\alpha$, так как угол $(\pi - \alpha)$ находится во второй четверти, где синус положителен.

Подставим преобразованные функции в выражение:

$\cos\alpha - \cos\alpha - \sin\alpha = 0 - \sin\alpha = -\sin\alpha$

Ответ: $-\sin\alpha$

в) $\sin\alpha \cdot \operatorname{ctg}(\pi - \alpha) + \cos(-\alpha)$

Применим формулу приведения для котангенса: $\operatorname{ctg}(\pi - \alpha) = -\operatorname{ctg}\alpha$. Также используем свойство четности косинуса: $\cos(-\alpha) = \cos\alpha$.

Выражение принимает вид:

$\sin\alpha \cdot (-\operatorname{ctg}\alpha) + \cos\alpha$

Теперь воспользуемся определением котангенса $\operatorname{ctg}\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$:

$\sin\alpha \cdot (-\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}) + \cos\alpha = -\cos\alpha + \cos\alpha = 0$

Ответ: $0$

г) $\operatorname{tg}\alpha \cdot \cos(\pi - \alpha) + \sin(-\alpha)$

Используем формулу приведения для косинуса $\cos(\pi - \alpha) = -\cos\alpha$ и свойство нечетности синуса $\sin(-\alpha) = -\sin\alpha$.

Подставим их в выражение:

$\operatorname{tg}\alpha \cdot (-\cos\alpha) + (-\sin\alpha) = -\operatorname{tg}\alpha \cdot \cos\alpha - \sin\alpha$

Теперь воспользуемся определением тангенса $\operatorname{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$:

$-\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} \cdot \cos\alpha - \sin\alpha = -\sin\alpha - \sin\alpha = -2\sin\alpha$

Ответ: $-2\sin\alpha$