Номер 576, страница 168 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

Авторы: Солтан Г. Н., Солтан А. Е., Жумадилова А. Ж.
Тип: Учебник
Издательство: Кокшетау
Год издания: 2019 - 2025
Цвет обложки:
ISBN: 978-601-317-424-2
Рекомендовано Министерством образования и науки Республики Казахстан
Популярные ГДЗ в 9 классе
22. Синус, косинус, тангенс и котангенс произвольного угла. IV. Тригонометрия - номер 576, страница 168.
№576 (с. 168)
Условие. №576 (с. 168)
скриншот условия

576. Найдите значение выражения $\frac{3 \cos \alpha + \sin \alpha}{2 \cos \alpha - \sin \alpha}$, если:
a) $\text{ctg } \alpha = \frac{1}{3}$;
б) $\alpha = \frac{2\pi}{3}$.
Решение. №576 (с. 168)

Решение 2 (rus). №576 (с. 168)
а)
Нам нужно найти значение выражения $\frac{3 \cos \alpha + \sin \alpha}{2 \cos \alpha - \sin \alpha}$ при условии, что $\text{ctg } \alpha = \frac{1}{3}$.
Поскольку котангенс определен, $\sin \alpha \neq 0$. Мы можем разделить и числитель, и знаменатель дроби на $\sin \alpha$. Это позволит нам использовать известное значение котангенса, так как $\text{ctg } \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$.
$\frac{3 \cos \alpha + \sin \alpha}{2 \cos \alpha - \sin \alpha} = \frac{\frac{3 \cos \alpha + \sin \alpha}{\sin \alpha}}{\frac{2 \cos \alpha - \sin \alpha}{\sin \alpha}} = \frac{\frac{3 \cos \alpha}{\sin \alpha} + \frac{\sin \alpha}{\sin \alpha}}{\frac{2 \cos \alpha}{\sin \alpha} - \frac{\sin \alpha}{\sin \alpha}} = \frac{3 \text{ ctg } \alpha + 1}{2 \text{ ctg } \alpha - 1}$
Теперь подставим в полученное выражение значение $\text{ctg } \alpha = \frac{1}{3}$:
$\frac{3 \cdot (\frac{1}{3}) + 1}{2 \cdot (\frac{1}{3}) - 1} = \frac{1 + 1}{\frac{2}{3} - 1} = \frac{2}{\frac{2}{3} - \frac{3}{3}} = \frac{2}{-\frac{1}{3}} = 2 \cdot (-3) = -6$
Ответ: $-6$
б)
Нам нужно найти значение выражения при $\alpha = \frac{2\pi}{3}$.
Для этого сначала вычислим значения $\sin \alpha$ и $\cos \alpha$ для данного угла.
Угол $\alpha = \frac{2\pi}{3}$ находится во второй координатной четверти. Для него:
$\cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) = \cos\left(\pi - \frac{\pi}{3}\right) = -\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2}$
$\sin\left(\frac{2\pi}{3}\right) = \sin\left(\pi - \frac{\pi}{3}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$
Теперь подставим эти значения в исходное выражение:
$\frac{3 \cos \alpha + \sin \alpha}{2 \cos \alpha - \sin \alpha} = \frac{3 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) + \frac{\sqrt{3}}{2}}{2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) - \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{-\frac{3}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}}{-1 - \frac{\sqrt{3}}{2}}$
Упростим полученную дробь:
$\frac{\frac{\sqrt{3} - 3}{2}}{\frac{-2 - \sqrt{3}}{2}} = \frac{\sqrt{3} - 3}{-2 - \sqrt{3}} = \frac{- (3 - \sqrt{3})}{- (2 + \sqrt{3})} = \frac{3 - \sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}}$
Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на сопряженное к знаменателю выражение $(2 - \sqrt{3})$:
$\frac{(3 - \sqrt{3})(2 - \sqrt{3})}{(2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3})} = \frac{3 \cdot 2 - 3\sqrt{3} - 2\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2}{2^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{6 - 5\sqrt{3} + 3}{4 - 3} = \frac{9 - 5\sqrt{3}}{1} = 9 - 5\sqrt{3}$
Ответ: $9 - 5\sqrt{3}$
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 9 класс, для упражнения номер 576 расположенного на странице 168 к учебнику 2019 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №576 (с. 168), авторов: Солтан (Генадий Николаевич), Солтан (Алла Евгеньевна), Жумадилова (Аманбала Жумадиловна), учебного пособия издательства Кокшетау.