Номер 576, страница 168 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

22. Синус, косинус, тангенс и котангенс произвольного угла. IV. Тригонометрия - номер 576, страница 168.

Условие.

576. Найдите значение выражения $\frac{3 \cos \alpha + \sin \alpha}{2 \cos \alpha - \sin \alpha}$, если:

a) $\text{ctg } \alpha = \frac{1}{3}$;

б) $\alpha = \frac{2\pi}{3}$.

Решение.

Решение 2 (rus).

а)

Нам нужно найти значение выражения $\frac{3 \cos \alpha + \sin \alpha}{2 \cos \alpha - \sin \alpha}$ при условии, что $\text{ctg } \alpha = \frac{1}{3}$.

Поскольку котангенс определен, $\sin \alpha \neq 0$. Мы можем разделить и числитель, и знаменатель дроби на $\sin \alpha$. Это позволит нам использовать известное значение котангенса, так как $\text{ctg } \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$.

$\frac{3 \cos \alpha + \sin \alpha}{2 \cos \alpha - \sin \alpha} = \frac{\frac{3 \cos \alpha + \sin \alpha}{\sin \alpha}}{\frac{2 \cos \alpha - \sin \alpha}{\sin \alpha}} = \frac{\frac{3 \cos \alpha}{\sin \alpha} + \frac{\sin \alpha}{\sin \alpha}}{\frac{2 \cos \alpha}{\sin \alpha} - \frac{\sin \alpha}{\sin \alpha}} = \frac{3 \text{ ctg } \alpha + 1}{2 \text{ ctg } \alpha - 1}$

Теперь подставим в полученное выражение значение $\text{ctg } \alpha = \frac{1}{3}$:

$\frac{3 \cdot (\frac{1}{3}) + 1}{2 \cdot (\frac{1}{3}) - 1} = \frac{1 + 1}{\frac{2}{3} - 1} = \frac{2}{\frac{2}{3} - \frac{3}{3}} = \frac{2}{-\frac{1}{3}} = 2 \cdot (-3) = -6$

Ответ: $-6$

б)

Нам нужно найти значение выражения при $\alpha = \frac{2\pi}{3}$.

Для этого сначала вычислим значения $\sin \alpha$ и $\cos \alpha$ для данного угла.

Угол $\alpha = \frac{2\pi}{3}$ находится во второй координатной четверти. Для него:

$\cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) = \cos\left(\pi - \frac{\pi}{3}\right) = -\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2}$

$\sin\left(\frac{2\pi}{3}\right) = \sin\left(\pi - \frac{\pi}{3}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Теперь подставим эти значения в исходное выражение:

$\frac{3 \cos \alpha + \sin \alpha}{2 \cos \alpha - \sin \alpha} = \frac{3 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) + \frac{\sqrt{3}}{2}}{2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) - \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{-\frac{3}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}}{-1 - \frac{\sqrt{3}}{2}}$

Упростим полученную дробь:

$\frac{\frac{\sqrt{3} - 3}{2}}{\frac{-2 - \sqrt{3}}{2}} = \frac{\sqrt{3} - 3}{-2 - \sqrt{3}} = \frac{- (3 - \sqrt{3})}{- (2 + \sqrt{3})} = \frac{3 - \sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}}$

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на сопряженное к знаменателю выражение $(2 - \sqrt{3})$:

$\frac{(3 - \sqrt{3})(2 - \sqrt{3})}{(2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3})} = \frac{3 \cdot 2 - 3\sqrt{3} - 2\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2}{2^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{6 - 5\sqrt{3} + 3}{4 - 3} = \frac{9 - 5\sqrt{3}}{1} = 9 - 5\sqrt{3}$

Ответ: $9 - 5\sqrt{3}$