Номер 583, страница 169 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

22. Синус, косинус, тангенс и котангенс произвольного угла. IV. Тригонометрия - номер 583, страница 169.

Условие.

583. Исследуйте, какие значения $\beta$ удовлетворяют равенству

$\sin \beta = -\frac{1}{2}$, если:

а) $\pi \le \beta \le \frac{3\pi}{2}$;

б) $\frac{3\pi}{2} \le \beta \le 2\pi$;

в) $-\pi \le \beta \le 0$.

Решение.

Решение 2 (rus).

Для решения задачи сначала найдем общее решение уравнения $\sin\beta = -\frac{1}{2}$.

Общее решение уравнения $\sin x = a$ имеет вид $x = (-1)^n \arcsin(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В нашем случае $a = -\frac{1}{2}$, а $\arcsin(-\frac{1}{2}) = -\frac{\pi}{6}$.

Следовательно, общее решение для $\beta$ можно записать как $\beta = (-1)^n(-\frac{\pi}{6}) + \pi n = (-1)^{n+1}\frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Более наглядно для отбора корней на промежутках представить общее решение в виде двух серий, соответствующих углам в III и IV четвертях единичной окружности, где синус отрицателен:

1. $\beta = \pi + \frac{\pi}{6} + 2\pi k = \frac{7\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2. $\beta = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Теперь исследуем, какие значения $\beta$ из этих серий попадают в заданные промежутки.

а) Исследуем промежуток $\pi \le \beta \le \frac{3\pi}{2}$. Этот промежуток соответствует III четверти единичной окружности.

Рассмотрим первую серию корней $\beta = \frac{7\pi}{6} + 2\pi k$.
Подставим целые значения $k$ для поиска подходящих корней. При $k=0$, получаем $\beta = \frac{7\pi}{6}$. Проверим принадлежность этого значения промежутку: $\pi \le \frac{7\pi}{6} \le \frac{3\pi}{2}$. Приведя к общему знаменателю 6, получим $\frac{6\pi}{6} \le \frac{7\pi}{6} \le \frac{9\pi}{6}$. Неравенство верно, следовательно, $\beta = \frac{7\pi}{6}$ является решением.
При $k=1$, $\beta = \frac{7\pi}{6} + 2\pi = \frac{19\pi}{6}$, что больше $\frac{3\pi}{2}$.
При $k=-1$, $\beta = \frac{7\pi}{6} - 2\pi = -\frac{5\pi}{6}$, что меньше $\pi$.

Рассмотрим вторую серию корней $\beta = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k$.
При $k=1$, $\beta = -\frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{11\pi}{6}$. Это значение не входит в промежуток, так как $\frac{11\pi}{6} > \frac{9\pi}{6} = \frac{3\pi}{2}$.
Другие значения $k$ также не дадут решений в данном промежутке.

Таким образом, на промежутке $\pi \le \beta \le \frac{3\pi}{2}$ есть только одно решение.

Ответ: $\beta = \frac{7\pi}{6}$.

б) Исследуем промежуток $\frac{3\pi}{2} \le \beta \le 2\pi$. Этот промежуток соответствует IV четверти единичной окружности.

Рассмотрим первую серию корней $\beta = \frac{7\pi}{6} + 2\pi k$.
Как мы видели в пункте а), при $k=0$, $\beta = \frac{7\pi}{6}$. Это значение меньше $\frac{3\pi}{2}$, поэтому оно не входит в заданный промежуток.

Рассмотрим вторую серию корней $\beta = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k$.
При $k=1$, получаем $\beta = -\frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{11\pi}{6}$. Проверим принадлежность этого значения промежутку: $\frac{3\pi}{2} \le \frac{11\pi}{6} \le 2\pi$. Приведя к общему знаменателю 6, получим $\frac{9\pi}{6} \le \frac{11\pi}{6} \le \frac{12\pi}{6}$. Неравенство верно, следовательно, $\beta = \frac{11\pi}{6}$ является решением.
При $k=0$, $\beta = -\frac{\pi}{6}$, что меньше $\frac{3\pi}{2}$.
При $k=2$, $\beta = -\frac{\pi}{6} + 4\pi = \frac{23\pi}{6}$, что больше $2\pi$.

Таким образом, на промежутке $\frac{3\pi}{2} \le \beta \le 2\pi$ есть только одно решение.

Ответ: $\beta = \frac{11\pi}{6}$.

в) Исследуем промежуток $-\pi \le \beta \le 0$. Этот промежуток включает IV и III четверти при отрицательном направлении обхода единичной окружности.

Рассмотрим первую серию корней $\beta = \frac{7\pi}{6} + 2\pi k$.
При $k=-1$, получаем $\beta = \frac{7\pi}{6} - 2\pi = \frac{7\pi - 12\pi}{6} = -\frac{5\pi}{6}$. Проверим принадлежность этого значения промежутку: $-\pi \le -\frac{5\pi}{6} \le 0$. Неравенство верно, так как $-\frac{6\pi}{6} \le -\frac{5\pi}{6} \le 0$. Следовательно, $\beta = -\frac{5\pi}{6}$ является решением.

Рассмотрим вторую серию корней $\beta = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k$.
При $k=0$, получаем $\beta = -\frac{\pi}{6}$. Проверим принадлежность этого значения промежутку: $-\pi \le -\frac{\pi}{6} \le 0$. Неравенство верно. Следовательно, $\beta = -\frac{\pi}{6}$ является решением.
При $k=-1$, $\beta = -\frac{\pi}{6} - 2\pi = -\frac{13\pi}{6}$, что меньше $-\pi$.

Таким образом, на промежутке $-\pi \le \beta \le 0$ есть два решения.

Ответ: $\beta = -\frac{5\pi}{6}$; $\beta = -\frac{\pi}{6}$.