Номер 588, страница 170 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

Авторы: Солтан Г. Н., Солтан А. Е., Жумадилова А. Ж.
Тип: Учебник
Издательство: Кокшетау
Год издания: 2019 - 2025
Цвет обложки:
ISBN: 978-601-317-424-2
Рекомендовано Министерством образования и науки Республики Казахстан
Популярные ГДЗ в 9 классе
22. Синус, косинус, тангенс и котангенс произвольного угла. IV. Тригонометрия - номер 588, страница 170.
№588 (с. 170)
Условие. №588 (с. 170)
скриншот условия

588. Докажите, что верно неравенство $\cos \alpha + \frac{1}{\cos \alpha} \geq 2$ для любого $\alpha \in (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$.
Решение. №588 (с. 170)

Решение 2 (rus). №588 (с. 170)
Требуется доказать неравенство $\cos \alpha + \frac{1}{\cos \alpha} \ge 2$ для любого $\alpha \in (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$.
Рассмотрим область определения выражения. По условию, угол $\alpha$ принадлежит интервалу $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$. Для любого угла из этого интервала (I и IV координатные четверти) его косинус строго положителен, то есть $\cos \alpha > 0$. Следовательно, выражение $\frac{1}{\cos \alpha}$ также определено и положительно. Значения $\cos \alpha$ для данного интервала $\alpha$ лежат в промежутке $(0, 1]$.
Для доказательства неравенства можно использовать несколько способов.
Способ 1: Алгебраические преобразования
Введем замену переменной. Пусть $t = \cos \alpha$. Так как $\alpha \in (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, то $t \in (0, 1]$.
Неравенство примет вид:
$t + \frac{1}{t} \ge 2$
Поскольку $t > 0$, мы можем умножить обе части неравенства на $t$, не меняя знака неравенства:
$t^2 + 1 \ge 2t$
Перенесем все слагаемые в левую часть:
$t^2 - 2t + 1 \ge 0$
Левая часть этого неравенства является полным квадратом разности:
$(t - 1)^2 \ge 0$
Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, поэтому это неравенство верно для любого значения $t$. Поскольку $t = \cos \alpha$ является действительным числом, и все наши преобразования были равносильными (умножение на положительное число $t$), то и исходное неравенство также верно.
Равенство достигается, когда $(t - 1)^2 = 0$, то есть при $t=1$. Возвращаясь к исходной переменной, $\cos \alpha = 1$, что соответствует $\alpha = 0$. Значение $\alpha=0$ входит в заданный интервал $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$.
Способ 2: Использование неравенства о средних (неравенство Коши)
Для любых двух неотрицательных чисел $a$ и $b$ справедливо неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом: $\frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}$.
В нашем случае, поскольку $\alpha \in (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, оба числа $a = \cos \alpha$ и $b = \frac{1}{\cos \alpha}$ являются положительными.
Применим к ним неравенство Коши:
$\frac{\cos \alpha + \frac{1}{\cos \alpha}}{2} \ge \sqrt{\cos \alpha \cdot \frac{1}{\cos \alpha}}$
Упростим правую часть:
$\frac{\cos \alpha + \frac{1}{\cos \alpha}}{2} \ge \sqrt{1}$
$\frac{\cos \alpha + \frac{1}{\cos \alpha}}{2} \ge 1$
Умножим обе части на 2:
$\cos \alpha + \frac{1}{\cos \alpha} \ge 2$
Неравенство доказано. Равенство достигается при условии $a=b$, то есть $\cos \alpha = \frac{1}{\cos \alpha}$, что дает $(\cos \alpha)^2 = 1$. Учитывая, что $\cos \alpha > 0$, получаем $\cos \alpha = 1$, то есть $\alpha=0$.
Оба способа показывают, что данное неравенство верно.
Ответ: Неравенство доказано.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 9 класс, для упражнения номер 588 расположенного на странице 170 к учебнику 2019 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №588 (с. 170), авторов: Солтан (Генадий Николаевич), Солтан (Алла Евгеньевна), Жумадилова (Аманбала Жумадиловна), учебного пособия издательства Кокшетау.