Номер 588, страница 170 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

22. Синус, косинус, тангенс и котангенс произвольного угла. IV. Тригонометрия - номер 588, страница 170.

Условие.

588. Докажите, что верно неравенство $\cos \alpha + \frac{1}{\cos \alpha} \geq 2$ для любого $\alpha \in (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$.

Решение.

Решение 2 (rus).

Требуется доказать неравенство $\cos \alpha + \frac{1}{\cos \alpha} \ge 2$ для любого $\alpha \in (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$.

Рассмотрим область определения выражения. По условию, угол $\alpha$ принадлежит интервалу $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$. Для любого угла из этого интервала (I и IV координатные четверти) его косинус строго положителен, то есть $\cos \alpha > 0$. Следовательно, выражение $\frac{1}{\cos \alpha}$ также определено и положительно. Значения $\cos \alpha$ для данного интервала $\alpha$ лежат в промежутке $(0, 1]$.

Для доказательства неравенства можно использовать несколько способов.

Способ 1: Алгебраические преобразования

Введем замену переменной. Пусть $t = \cos \alpha$. Так как $\alpha \in (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, то $t \in (0, 1]$.

Неравенство примет вид:

$t + \frac{1}{t} \ge 2$

Поскольку $t > 0$, мы можем умножить обе части неравенства на $t$, не меняя знака неравенства:

$t^2 + 1 \ge 2t$

Перенесем все слагаемые в левую часть:

$t^2 - 2t + 1 \ge 0$

Левая часть этого неравенства является полным квадратом разности:

$(t - 1)^2 \ge 0$

Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, поэтому это неравенство верно для любого значения $t$. Поскольку $t = \cos \alpha$ является действительным числом, и все наши преобразования были равносильными (умножение на положительное число $t$), то и исходное неравенство также верно.

Равенство достигается, когда $(t - 1)^2 = 0$, то есть при $t=1$. Возвращаясь к исходной переменной, $\cos \alpha = 1$, что соответствует $\alpha = 0$. Значение $\alpha=0$ входит в заданный интервал $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$.

Способ 2: Использование неравенства о средних (неравенство Коши)

Для любых двух неотрицательных чисел $a$ и $b$ справедливо неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом: $\frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}$.

В нашем случае, поскольку $\alpha \in (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, оба числа $a = \cos \alpha$ и $b = \frac{1}{\cos \alpha}$ являются положительными.

Применим к ним неравенство Коши:

$\frac{\cos \alpha + \frac{1}{\cos \alpha}}{2} \ge \sqrt{\cos \alpha \cdot \frac{1}{\cos \alpha}}$

Упростим правую часть:

$\frac{\cos \alpha + \frac{1}{\cos \alpha}}{2} \ge \sqrt{1}$

$\frac{\cos \alpha + \frac{1}{\cos \alpha}}{2} \ge 1$

Умножим обе части на 2:

$\cos \alpha + \frac{1}{\cos \alpha} \ge 2$

Неравенство доказано. Равенство достигается при условии $a=b$, то есть $\cos \alpha = \frac{1}{\cos \alpha}$, что дает $(\cos \alpha)^2 = 1$. Учитывая, что $\cos \alpha > 0$, получаем $\cos \alpha = 1$, то есть $\alpha=0$.

Оба способа показывают, что данное неравенство верно.

Ответ: Неравенство доказано.