Номер 591, страница 171 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

22. Синус, косинус, тангенс и котангенс произвольного угла. IV. Тригонометрия - номер 591, страница 171.

Условие.

591. Найдите наибольшее и наименьшее значения выражения, если они существуют:

а) $sin \alpha \cdot cos \alpha \cdot tg \alpha;$

б) $ctg(-\alpha) \cdot sin \alpha \cdot cos(-\alpha);$

в) $tg \alpha \cdot ctg \alpha - sin^2(-\alpha);$

г) $cos^2\alpha - tg(-\alpha) \cdot ctg(-\alpha).$

Решение.

Решение 2 (rus).

а) Упростим выражение $ \sin\alpha \cdot \cos\alpha \cdot \tg\alpha $.
Используя определение тангенса $ \tg\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} $, получаем:
$ \sin\alpha \cdot \cos\alpha \cdot \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} $
Область допустимых значений (ОДЗ) для этого выражения: $ \cos\alpha \neq 0 $, то есть $ \alpha \neq \frac{\pi}{2} + \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.
При $ \cos\alpha \neq 0 $ выражение можно сократить до $ \sin^2\alpha $.
Нам нужно найти наибольшее и наименьшее значения функции $ y = \sin^2\alpha $ при условии $ \cos\alpha \neq 0 $.
Область значений функции $ \sin\alpha $ — это отрезок $ [-1, 1] $, следовательно, область значений $ \sin^2\alpha $ — это отрезок $ [0, 1] $.
Однако, из-за ограничения $ \cos\alpha \neq 0 $, значение $ \sin^2\alpha = 1 $ не достигается. Если $ \sin^2\alpha = 1 $, то $ \sin\alpha = \pm 1 $, что соответствует $ \cos\alpha = 0 $. Эти значения $ \alpha $ исключены из ОДЗ.
Таким образом, выражение может принимать значения, сколь угодно близкие к 1, но не равные 1.
Наименьшее значение, равное 0, достигается при $ \sin\alpha = 0 $ (например, при $ \alpha = 0 $), при этом $ \cos\alpha = 1 \neq 0 $, что входит в ОДЗ.
Следовательно, наименьшее значение существует и равно 0, а наибольшего значения не существует.
Ответ: наименьшее значение 0, наибольшего значения не существует.

б) Упростим выражение $ \ctg(-\alpha) \cdot \sin\alpha \cdot \cos(-\alpha) $.
Используем свойства четности и нечетности тригонометрических функций: $ \ctg(-\alpha) = -\ctg\alpha $ и $ \cos(-\alpha) = \cos\alpha $.
Выражение принимает вид: $ -\ctg\alpha \cdot \sin\alpha \cdot \cos\alpha $.
Используя определение котангенса $ \ctg\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} $, получаем:
$ -\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} \cdot \sin\alpha \cdot \cos\alpha $
ОДЗ: $ \sin\alpha \neq 0 $, то есть $ \alpha \neq \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.
При $ \sin\alpha \neq 0 $ выражение можно сократить до $ -\cos^2\alpha $.
Нам нужно найти наибольшее и наименьшее значения функции $ y = -\cos^2\alpha $ при условии $ \sin\alpha \neq 0 $.
Область значений $ \cos^2\alpha $ — это $ [0, 1] $, значит область значений $ -\cos^2\alpha $ — это $ [-1, 0] $.
Из-за ограничения $ \sin\alpha \neq 0 $, значение $ -\cos^2\alpha = -1 $ не достигается. Если $ \cos^2\alpha = 1 $, то $ \cos\alpha = \pm 1 $, что соответствует $ \sin\alpha = 0 $. Эти значения $ \alpha $ исключены из ОДЗ.
Таким образом, выражение может принимать значения, сколь угодно близкие к -1, но не равные -1.
Наибольшее значение, равное 0, достигается при $ \cos\alpha = 0 $ (например, при $ \alpha = \frac{\pi}{2} $), при этом $ \sin\alpha = 1 \neq 0 $, что входит в ОДЗ.
Следовательно, наибольшее значение существует и равно 0, а наименьшего значения не существует.
Ответ: наибольшее значение 0, наименьшего значения не существует.

в) Упростим выражение $ \tg\alpha \cdot \ctg\alpha - \sin^2(-\alpha) $.
Используем основное тригонометрическое тождество $ \tg\alpha \cdot \ctg\alpha = 1 $ и свойство нечетности синуса $ \sin(-\alpha) = -\sin\alpha $, откуда $ \sin^2(-\alpha) = (-\sin\alpha)^2 = \sin^2\alpha $.
Выражение принимает вид: $ 1 - \sin^2\alpha $.
По основному тригонометрическому тождеству $ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 $, имеем $ 1 - \sin^2\alpha = \cos^2\alpha $.
ОДЗ исходного выражения: $ \tg\alpha $ и $ \ctg\alpha $ должны быть определены, то есть $ \cos\alpha \neq 0 $ и $ \sin\alpha \neq 0 $. Это соответствует $ \alpha \neq \frac{\pi k}{2} $, где $ k \in \mathbb{Z} $.
Нам нужно найти наибольшее и наименьшее значения $ \cos^2\alpha $ при этих ограничениях.
Область значений $ \cos^2\alpha $ — это $ [0, 1] $.
Однако, если $ \cos^2\alpha = 1 $, то $ \cos\alpha = \pm 1 $, что означает $ \sin\alpha = 0 $. Это значение исключено из ОДЗ.
Если $ \cos^2\alpha = 0 $, то $ \cos\alpha = 0 $. Это значение также исключено из ОДЗ.
Таким образом, выражение $ \cos^2\alpha $ может принимать значения из интервала $ (0, 1) $, но не достигает своих граничных значений 0 и 1.
Следовательно, ни наибольшего, ни наименьшего значений у выражения не существует.
Ответ: наибольшего и наименьшего значений не существует.

г) Упростим выражение $ \cos^2\alpha - \tg(-\alpha) \cdot \ctg(-\alpha) $.
Используем свойства четности и нечетности: $ \tg(-\alpha) = -\tg\alpha $ и $ \ctg(-\alpha) = -\ctg\alpha $.
Их произведение: $ \tg(-\alpha) \cdot \ctg(-\alpha) = (-\tg\alpha) \cdot (-\ctg\alpha) = \tg\alpha \cdot \ctg\alpha = 1 $.
Выражение принимает вид: $ \cos^2\alpha - 1 $.
По основному тригонометрическому тождеству $ \cos^2\alpha - 1 = -\sin^2\alpha $.
ОДЗ исходного выражения, как и в пункте в), требует, чтобы $ \tg(-\alpha) $ и $ \ctg(-\alpha) $ были определены. Это значит, $ \cos(-\alpha) \neq 0 $ (т.е. $ \cos\alpha \neq 0 $) и $ \sin(-\alpha) \neq 0 $ (т.е. $ \sin\alpha \neq 0 $). Таким образом, $ \alpha \neq \frac{\pi k}{2} $, где $ k \in \mathbb{Z} $.
Нам нужно найти наибольшее и наименьшее значения $ -\sin^2\alpha $ при этих ограничениях.
Область значений $ \sin^2\alpha $ — это $ [0, 1] $, значит область значений $ -\sin^2\alpha $ — это $ [-1, 0] $.
Однако, если $ -\sin^2\alpha = 0 $, то $ \sin\alpha = 0 $. Это значение исключено из ОДЗ.
Если $ -\sin^2\alpha = -1 $, то $ \sin^2\alpha = 1 $, что означает $ \sin\alpha = \pm 1 $, и, следовательно, $ \cos\alpha = 0 $. Это значение также исключено из ОДЗ.
Таким образом, выражение $ -\sin^2\alpha $ может принимать значения из интервала $ (-1, 0) $, но не достигает своих граничных значений -1 и 0.
Следовательно, ни наибольшего, ни наименьшего значений у выражения не существует.
Ответ: наибольшего и наименьшего значений не существует.