Номер 595, страница 177 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

23. Тригонометрические функции и их свойства. IV. Тригонометрия - номер 595, страница 177.

Условие.

595. Найдите область определения функции:

а) $y = \sin 2x;$

в) $y = \cos x^2;$

б) $y = \cos \frac{1}{2}x;$

г) $y = \sin \frac{1}{x}.

Решение.

Решение 2 (rus).

а) Область определения функции — это множество всех допустимых значений аргумента $x$, при которых функция имеет смысл.
Для функции $y = \sin(2x)$, аргументом синуса является выражение $2x$.
Функция синус ($ \sin(t) $) определена для любого действительного значения своего аргумента $t$.
Выражение $2x$ является линейной функцией, которая определена для всех действительных чисел $x$.
Следовательно, никаких ограничений на переменную $x$ не накладывается, и функция $y = \sin(2x)$ определена для любого $x$.
Область определения — множество всех действительных чисел.
Ответ: $x \in R$ (или $D(y) = (-\infty; +\infty)$).

б) Рассмотрим функцию $y = \cos(\frac{1}{2}x)$.
Аргументом косинуса является выражение $\frac{1}{2}x$.
Функция косинус ($ \cos(t) $) определена для любого действительного значения своего аргумента $t$.
Выражение $\frac{1}{2}x$ определено для всех действительных чисел $x$.
Таким образом, ограничений на $x$ нет.
Область определения — множество всех действительных чисел.
Ответ: $x \in R$ (или $D(y) = (-\infty; +\infty)$).

в) Для функции $y = \cos(x^2)$.
Аргументом косинуса является выражение $x^2$.
Функция косинус ($ \cos(t) $) определена для любого действительного значения своего аргумента $t$.
Выражение $x^2$ является квадратичной функцией, которая определена для всех действительных чисел $x$.
Следовательно, область определения исходной функции совпадает с множеством всех действительных чисел.
Ответ: $x \in R$ (или $D(y) = (-\infty; +\infty)$).

г) Рассмотрим функцию $y = \sin(\frac{1}{x})$.
Аргументом синуса является выражение $\frac{1}{x}$.
Функция синус ($ \sin(t) $) определена для любого действительного значения своего аргумента $t$. Однако, мы должны учитывать область определения самого аргумента.
Выражение $\frac{1}{x}$ является дробью, и оно определено только тогда, когда его знаменатель не равен нулю.
Следовательно, необходимо выполнить условие: $x \neq 0$.
Таким образом, область определения функции $y = \sin(\frac{1}{x})$ — это все действительные числа, кроме нуля.
Ответ: $x \neq 0$ (или $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$).