Номер 598, страница 178 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

23. Тригонометрические функции и их свойства. IV. Тригонометрия - номер 598, страница 178.

Условие.

598. Установите, четной или нечетной является функция:

а) $y = \sin 3x;$

б) $y = \cos x + 1;$

в) $y = \sin^2 x;$

г) $y = -2\cos x.$

Решение.

Решение 2 (rus).

Для того чтобы установить, является ли функция четной или нечетной, необходимо проверить выполнение следующих условий. Функция $y = f(x)$ называется:

• четной, если для любого $x$ из ее области определения выполняется равенство $f(-x) = f(x)$;
• нечетной, если для любого $x$ из ее области определения выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$.

Важным условием является симметричность области определения функции относительно нуля. Для всех рассматриваемых функций область определения — все действительные числа ($D(f) = (-\infty; +\infty)$), что является симметричным множеством.

а) $y = \sin 3x$

Обозначим функцию как $f(x) = \sin 3x$. Найдем значение функции для аргумента $-x$:

$f(-x) = \sin(3(-x)) = \sin(-3x)$.

Используя свойство нечетности функции синус, $\sin(-\alpha) = -\sin(\alpha)$, получаем:

$f(-x) = -\sin(3x)$.

Так как $-\sin(3x) = -f(x)$, то выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$. Следовательно, функция является нечетной.

Ответ: нечетная.

б) $y = \cos x + 1$

Обозначим функцию как $f(x) = \cos x + 1$. Найдем значение функции для аргумента $-x$:

$f(-x) = \cos(-x) + 1$.

Используя свойство четности функции косинус, $\cos(-\alpha) = \cos(\alpha)$, получаем:

$f(-x) = \cos x + 1$.

Так как $\cos x + 1 = f(x)$, то выполняется равенство $f(-x) = f(x)$. Следовательно, функция является четной.

Ответ: четная.

в) $y = \sin^2 x$

Обозначим функцию как $f(x) = \sin^2 x$, что эквивалентно записи $f(x) = (\sin x)^2$. Найдем значение функции для аргумента $-x$:

$f(-x) = \sin^2(-x) = (\sin(-x))^2$.

Используя свойство нечетности функции синус, $\sin(-x) = -\sin x$, получаем:

$f(-x) = (-\sin x)^2 = (-1)^2 \cdot (\sin x)^2 = \sin^2 x$.

Так как $\sin^2 x = f(x)$, то выполняется равенство $f(-x) = f(x)$. Следовательно, функция является четной.

Ответ: четная.

г) $y = -2\cos x$

Обозначим функцию как $f(x) = -2\cos x$. Найдем значение функции для аргумента $-x$:

$f(-x) = -2\cos(-x)$.

Используя свойство четности функции косинус, $\cos(-x) = \cos x$, получаем:

$f(-x) = -2\cos x$.

Так как $-2\cos x = f(x)$, то выполняется равенство $f(-x) = f(x)$. Следовательно, функция является четной.

Ответ: четная.