Номер 594, страница 177 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

23. Тригонометрические функции и их свойства. IV. Тригонометрия - номер 594, страница 177.

Условие.

594. Какие из чисел $\frac{\pi}{2}$, $\pi$, $\frac{3\pi}{2}$, $2\pi$, $3\pi$, $4\pi$, $5\pi$, $6\pi$, $15\pi$, $20\pi$, $142\pi$ являются периодами функции:

а) $y = \sin x$?

б) $y = \cos x$?

Решение.

Решение 2 (rus).

а) y = sin x

По определению, число $T \neq 0$ является периодом функции $f(x)$, если для любого $x$ из области определения функции выполняется равенство $f(x+T) = f(x)$.

Основной (наименьший положительный) период для функции $y = \sin x$ равен $T_0 = 2\pi$. Любой другой период $T$ этой функции должен быть кратен основному периоду, то есть должен удовлетворять условию $T = n \cdot T_0 = n \cdot 2\pi$, где $n$ — целое число, не равное нулю.

Поскольку все предложенные числа положительны, мы ищем те из них, для которых $n$ является натуральным числом. Это эквивалентно тому, что число является четным целым кратным $\pi$. Проверим каждое число из списка:

- $\frac{\pi}{2}$: не является периодом. $\sin(x + \frac{\pi}{2}) = \cos x \neq \sin x$.

- $\pi$: не является периодом. $\sin(x + \pi) = -\sin x \neq \sin x$.

- $\frac{3\pi}{2}$: не является периодом. $\sin(x + \frac{3\pi}{2}) = -\cos x \neq \sin x$.

- $2\pi$: является периодом, так как $2\pi = 1 \cdot 2\pi$.

- $3\pi$: не является периодом, так как $3\pi$ не кратно $2\pi$. Например, $\sin(x + 3\pi) = \sin(x+\pi) = -\sin x \neq \sin x$.

- $4\pi$: является периодом, так как $4\pi = 2 \cdot 2\pi$.

- $5\pi$: не является периодом, так как $5\pi$ не кратно $2\pi$.

- $6\pi$: является периодом, так как $6\pi = 3 \cdot 2\pi$.

- $15\pi$: не является периодом, так как $15\pi$ не кратно $2\pi$.

- $20\pi$: является периодом, так как $20\pi = 10 \cdot 2\pi$.

- $142\pi$: является периодом, так как $142\pi = 71 \cdot 2\pi$.

Ответ: $2\pi, 4\pi, 6\pi, 20\pi, 142\pi$.

б) y = cos x

Функция $y = \cos x$ имеет тот же основной период $T_0 = 2\pi$, что и функция $y = \sin x$. Соответственно, множество всех ее периодов также имеет вид $T = n \cdot 2\pi$, где $n$ — целое число, не равное нулю.

Таким образом, проверка предложенных чисел даст точно такой же результат, как и для функции синуса. Периодами будут все числа из списка, которые являются целыми положительными кратными $2\pi$ (или, что то же самое, четными кратными $\pi$).

Ответ: $2\pi, 4\pi, 6\pi, 20\pi, 142\pi$.