Номер 601, страница 178 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

23. Тригонометрические функции и их свойства. IV. Тригонометрия - номер 601, страница 178.

Условие.

601. Установите, является ли число $5\pi$ периодом функции:

а) $y = \cos 2x$;

б) $y = \sin \frac{2}{5}x.$

Решение.

Решение 2 (rus).

Чтобы установить, является ли число $T \neq 0$ периодом функции $y=f(x)$, необходимо проверить выполнение равенства $f(x+T) = f(x)$ для любого $x$ из области определения функции. Также можно найти основной (наименьший положительный) период функции $T_0$ и проверить, является ли заданное число $T$ кратным основному периоду, то есть выполняется ли равенство $T = n \cdot T_0$ для некоторого целого числа $n$.

а) $y = \cos 2x$

Основной период для функции вида $y = \cos(kx)$ вычисляется по формуле $T_0 = \frac{2\pi}{|k|}$.
Для функции $y = \cos 2x$ коэффициент $k=2$. Найдем основной период:$T_0 = \frac{2\pi}{2} = \pi$.
Теперь проверим, кратно ли число $5\pi$ основному периоду $\pi$.
$\frac{5\pi}{\pi} = 5$.
Так как 5 — целое число, то $5\pi$ является периодом функции $y = \cos 2x$.
Можно также проверить это по определению:
$f(x + 5\pi) = \cos(2(x+5\pi)) = \cos(2x + 10\pi)$.
Поскольку период функции косинус равен $2\pi$, то $\cos(\alpha + 2\pi n) = \cos(\alpha)$ для любого целого $n$. В нашем случае $\alpha=2x$ и $n=5$.
$\cos(2x + 10\pi) = \cos(2x) = f(x)$.
Равенство выполняется, следовательно, $5\pi$ — период функции.

Ответ: да, является.

б) $y = \sin\frac{2}{5}x$

Основной период для функции вида $y = \sin(kx)$ вычисляется по формуле $T_0 = \frac{2\pi}{|k|}$.
Для функции $y = \sin\frac{2}{5}x$ коэффициент $k=\frac{2}{5}$. Найдем основной период:$T_0 = \frac{2\pi}{|\frac{2}{5}|} = \frac{2\pi}{\frac{2}{5}} = 2\pi \cdot \frac{5}{2} = 5\pi$.
Основной период функции равен $5\pi$. Так как любое число является своим собственным периодом (при $n=1$), то $5\pi$ является периодом данной функции.
Проверим по определению:
$f(x + 5\pi) = \sin(\frac{2}{5}(x+5\pi)) = \sin(\frac{2}{5}x + \frac{2}{5} \cdot 5\pi) = \sin(\frac{2}{5}x + 2\pi)$.
Поскольку период функции синус равен $2\pi$, то $\sin(\alpha + 2\pi) = \sin(\alpha)$.
$\sin(\frac{2}{5}x + 2\pi) = \sin(\frac{2}{5}x) = f(x)$.
Равенство выполняется, следовательно, $5\pi$ — период функции.

Ответ: да, является.