Номер 608, страница 179 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

23. Тригонометрические функции и их свойства. IV. Тригонометрия - номер 608, страница 179.

Условие.

608. Исследуйте, при каких значениях x имеет смысл выражение:

а) $\frac{1}{\sin x + 1}$;

б) $\frac{1}{\cos x - 1}$;

в) $\sqrt{\sin x}$;

г) $\sqrt{1 + \cos x}$.

Решение.

Решение 2 (rus).

а) Выражение $\frac{1}{\sin x + 1}$ имеет смысл, когда его знаменатель не равен нулю. То есть, должно выполняться условие $\sin x + 1 \neq 0$, что равносильно $\sin x \neq -1$. Тригонометрическое уравнение $\sin x = -1$ имеет решения вида $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. Следовательно, область определения данного выражения — это все действительные числа, кроме указанных.
Ответ: $x \neq -\frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б) Выражение $\frac{1}{\cos x - 1}$ имеет смысл, когда его знаменатель не равен нулю. То есть, должно выполняться условие $\cos x - 1 \neq 0$, что равносильно $\cos x \neq 1$. Тригонометрическое уравнение $\cos x = 1$ имеет решения вида $x = 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. Следовательно, область определения данного выражения — это все действительные числа, кроме указанных.
Ответ: $x \neq 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

в) Выражение $\sqrt{\sin x}$ имеет смысл, когда подкоренное выражение неотрицательно. То есть, должно выполняться условие $\sin x \ge 0$. Функция синуса принимает неотрицательные значения на промежутке $[0, \pi]$ и на всех промежутках, получаемых из него сдвигом на $2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. Таким образом, решение неравенства можно записать в виде объединения отрезков.
Ответ: $2\pi n \le x \le \pi + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

г) Выражение $\sqrt{1 + \cos x}$ имеет смысл, когда подкоренное выражение неотрицательно. То есть, должно выполняться условие $1 + \cos x \ge 0$, что равносильно $\cos x \ge -1$. Поскольку область значений функции $y = \cos x$ есть отрезок $[-1, 1]$, неравенство $\cos x \ge -1$ выполняется для любого действительного значения $x$. Следовательно, выражение имеет смысл при всех действительных числах.
Ответ: $x \in \mathbb{R}$.