Номер 611, страница 179 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

23. Тригонометрические функции и их свойства. IV. Тригонометрия - номер 611, страница 179.

Условие.

611. Найдите множество значений функции:

а) $y = |\text{tg } x|$

б) $y = \text{ctg}^2 x$

в) $y = \sqrt{\text{tg } x}$

г) $y = \frac{1}{\text{ctg } x}$

Решение.

Решение 2 (rus).

а) $y = |\operatorname{tg} x|$

Множество значений функции тангенс, $E(\operatorname{tg} x)$, есть все действительные числа, то есть $(-\infty; +\infty)$. Модуль любого действительного числа является неотрицательным числом. Следовательно, когда $x$ пробегает все допустимые значения, $\operatorname{tg} x$ принимает все значения из $(-\infty; +\infty)$, а $|\operatorname{tg} x|$ принимает все значения от 0 до $+\infty$, включая 0 (например, при $x=0$, $\operatorname{tg} 0 = 0$ и $|\operatorname{tg} 0| = 0$). Таким образом, множество значений функции $y = |\operatorname{tg} x|$ — это промежуток $[0; +\infty)$.

Ответ: $y \in [0, +\infty)$.

б) $y = \operatorname{ctg}^2 x$

Множество значений функции котангенс, $E(\operatorname{ctg} x)$, есть все действительные числа, то есть $(-\infty; +\infty)$. Квадрат любого действительного числа является неотрицательным числом. Поскольку $\operatorname{ctg} x$ может принять любое действительное значение, $\operatorname{ctg}^2 x$ может принять значение квадрата любого действительного числа. Множество таких значений — это все неотрицательные числа, включая 0 (например, при $x=\frac{\pi}{2}$, $\operatorname{ctg} \frac{\pi}{2} = 0$ и $\operatorname{ctg}^2 \frac{\pi}{2} = 0$). Следовательно, множество значений функции $y = \operatorname{ctg}^2 x$ — это промежуток $[0; +\infty)$.

Ответ: $y \in [0, +\infty)$.

в) $y = \sqrt{\operatorname{tg} x}$

Функция определена, когда подкоренное выражение неотрицательно, то есть $\operatorname{tg} x \ge 0$. Множество значений, которые может принимать $\operatorname{tg} x$ при этом условии, — это промежуток $[0; +\infty)$. Функция квадратного корня $f(t) = \sqrt{t}$ определена для $t \ge 0$ и её множество значений также $[0; +\infty)$. Поскольку $\operatorname{tg} x$ принимает все значения из промежутка $[0; +\infty)$, то и функция $y = \sqrt{\operatorname{tg} x}$ будет принимать все значения из промежутка $[0; +\infty)$.

Ответ: $y \in [0, +\infty)$.

г) $y = \frac{1}{\operatorname{ctg} x}$

Данная функция эквивалентна функции $y = \operatorname{tg} x$, но с дополнительными ограничениями на область определения. Функция $y = \frac{1}{\operatorname{ctg} x}$ определена, если $\operatorname{ctg} x$ определен и не равен нулю.
1. $\operatorname{ctg} x$ определен, если $x \neq k\pi$, где $k$ — целое число.
2. $\operatorname{ctg} x \neq 0$, если $x \neq \frac{\pi}{2} + n\pi$, где $n$ — целое число.
Множество значений функции $y=\operatorname{tg} x$ — это $(-\infty; +\infty)$. Однако, из-за ограничения, накладываемого знаменателем, а именно $x \neq k\pi$ (в этих точках $\operatorname{ctg} x$ не определен) и $x \neq \frac{\pi}{2} + n\pi$ (в этих точках $\operatorname{ctg} x = 0$), мы должны проанализировать, как это влияет на значения $\operatorname{tg} x$.
Тождество $y = \frac{1}{\operatorname{ctg} x} = \operatorname{tg} x$ верно для всех $x$, где обе части определены. Область определения $y = \operatorname{tg} x$ — это все $x \neq \frac{\pi}{2} + n\pi$. Область определения $y = \frac{1}{\operatorname{ctg} x}$ дополнительно требует, чтобы $x \neq k\pi$. При $x = k\pi$ значение $\operatorname{tg}(k\pi)=0$. Поскольку эти значения $x$ исключены из области определения нашей функции, значение $y=0$ никогда не достигается. Все остальные действительные значения функция принимать может. Следовательно, множество значений функции $y = \frac{1}{\operatorname{ctg} x}$ — это все действительные числа, кроме нуля.

Ответ: $y \in (-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$.