Номер 618, страница 180 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

23. Тригонометрические функции и их свойства. IV. Тригонометрия - номер 618, страница 180.

Условие.

618. Установите, каким должно быть число b, чтобы выполнялось равенство:

а) $ \sin x = \frac{b}{2}; $

б) $ \cos x = \frac{\pi}{b}; $

в) $ \operatorname{tg} x = \frac{5}{\sqrt{b}}; $

г) $ \operatorname{ctg} x = \sqrt{b^2 - 25}. $

Решение.

Решение 2 (rus).

а) Область значений функции $y=\sin x$ — это отрезок $[-1, 1]$. Следовательно, для того чтобы равенство $\sin x = \frac{b}{2}$ могло выполняться, необходимо, чтобы значение выражения $\frac{b}{2}$ принадлежало этому отрезку. Это условие записывается в виде двойного неравенства:$$-1 \le \frac{b}{2} \le 1$$Чтобы найти значения $b$, умножим все части неравенства на 2:$$-1 \cdot 2 \le b \le 1 \cdot 2$$$$-2 \le b \le 2$$Таким образом, число $b$ должно принадлежать отрезку $[-2, 2]$.
Ответ: $b \in [-2, 2]$.

б) Область значений функции $y=\cos x$ — это отрезок $[-1, 1]$. Также, в выражении $\frac{\pi}{b}$ знаменатель не может быть равен нулю, то есть $b \ne 0$. Для выполнения равенства $\cos x = \frac{\pi}{b}$ необходимо, чтобы выполнялось условие:$$-1 \le \frac{\pi}{b} \le 1$$Это неравенство равносильно неравенству с модулем:$$|\frac{\pi}{b}| \le 1$$Используя свойство модуля частного, получаем:$$\frac{|\pi|}{|b|} \le 1$$Так как $\pi \approx 3.14 > 0$, то $|\pi| = \pi$. Неравенство принимает вид:$$\frac{\pi}{|b|} \le 1$$Поскольку $b \ne 0$, то $|b| > 0$. Мы можем умножить обе части неравенства на $|b|$, не меняя знака неравенства:$$\pi \le |b|$$Это неравенство $|b| \ge \pi$ равносильно совокупности двух неравенств: $b \ge \pi$ или $b \le -\pi$.
Ответ: $b \in (-\infty, -\pi] \cup [\pi, \infty)$.

в) Область значений функции $y=\operatorname{tg} x$ — все действительные числа, $(-\infty, \infty)$. Поэтому никаких ограничений на значение правой части равенства $\operatorname{tg} x = \frac{5}{\sqrt{b}}$ не накладывается. Ограничения возникают только из области определения выражения в правой части. Во-первых, подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $b \ge 0$. Во-вторых, знаменатель дроби не может быть равен нулю: $\sqrt{b} \ne 0$, что означает $b \ne 0$. Объединяя эти два условия, получаем, что $b$ должно быть строго больше нуля.
Ответ: $b > 0$.

г) Область значений функции $y=\operatorname{ctg} x$ — все действительные числа, $(-\infty, \infty)$. Ограничение накладывается только на область определения выражения в правой части равенства $\operatorname{ctg} x = \sqrt{b^2 - 25}$. Для того чтобы корень был определен, подкоренное выражение должно быть неотрицательным:$$b^2 - 25 \ge 0$$Перенесем 25 в правую часть:$$b^2 \ge 25$$Это неравенство выполняется, когда модуль $b$ больше или равен 5:$$|b| \ge 5$$Это равносильно совокупности двух неравенств: $b \le -5$ или $b \ge 5$.
Ответ: $b \in (-\infty, -5] \cup [5, \infty)$.