Номер 622, страница 181 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

23. Тригонометрические функции и их свойства. IV. Тригонометрия - номер 622, страница 181.

Условие.

622. Докажите, что число $- \frac{3\pi}{2}$ является периодом функции:

а) $y = \text{tg } 2x;$

б) $y = \text{ctg } 4x.$

Решение.

Решение 2 (rus).

а) Чтобы доказать, что число $T = -\frac{3\pi}{2}$ является периодом функции $y = \operatorname{tg}(2x)$, необходимо проверить, выполняется ли для любого $x$ из области определения функции равенство $y(x+T) = y(x)$.

Подставим $x+T$ в функцию:

$y(x - \frac{3\pi}{2}) = \operatorname{tg}(2(x - \frac{3\pi}{2})) = \operatorname{tg}(2x - \frac{2 \cdot 3\pi}{2}) = \operatorname{tg}(2x - 3\pi)$.

Основной период функции тангенс равен $\pi$. Это означает, что для любого целого числа $k$ выполняется равенство $\operatorname{tg}(\alpha + k\pi) = \operatorname{tg}(\alpha)$. В нашем случае $k = -3$.

Следовательно, $\operatorname{tg}(2x - 3\pi) = \operatorname{tg}(2x)$.

Мы получили, что $y(x - \frac{3\pi}{2}) = y(x)$, значит, число $-\frac{3\pi}{2}$ действительно является периодом функции $y = \operatorname{tg}(2x)$, что и требовалось доказать.

Ответ: Так как $y(x - \frac{3\pi}{2}) = \operatorname{tg}(2(x - \frac{3\pi}{2})) = \operatorname{tg}(2x - 3\pi) = \operatorname{tg}(2x) = y(x)$, то число $-\frac{3\pi}{2}$ является периодом функции.

б) Чтобы доказать, что число $T = -\frac{3\pi}{2}$ является периодом функции $y = \operatorname{ctg}(4x)$, необходимо проверить, выполняется ли для любого $x$ из области определения функции равенство $y(x+T) = y(x)$.

Подставим $x+T$ в функцию:

$y(x - \frac{3\pi}{2}) = \operatorname{ctg}(4(x - \frac{3\pi}{2})) = \operatorname{ctg}(4x - \frac{4 \cdot 3\pi}{2}) = \operatorname{ctg}(4x - 6\pi)$.

Основной период функции котангенс равен $\pi$. Это означает, что для любого целого числа $k$ выполняется равенство $\operatorname{ctg}(\alpha + k\pi) = \operatorname{ctg}(\alpha)$. В нашем случае $k = -6$.

Следовательно, $\operatorname{ctg}(4x - 6\pi) = \operatorname{ctg}(4x)$.

Мы получили, что $y(x - \frac{3\pi}{2}) = y(x)$, значит, число $-\frac{3\pi}{2}$ действительно является периодом функции $y = \operatorname{ctg}(4x)$, что и требовалось доказать.

Ответ: Так как $y(x - \frac{3\pi}{2}) = \operatorname{ctg}(4(x - \frac{3\pi}{2})) = \operatorname{ctg}(4x - 6\pi) = \operatorname{ctg}(4x) = y(x)$, то число $-\frac{3\pi}{2}$ является периодом функции.