Номер 624, страница 181 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

23. Тригонометрические функции и их свойства. IV. Тригонометрия - номер 624, страница 181.

Условие.

624. На рисунке 70 изображена часть графика функции $y = \cos x$. Учитывая, что эта функция четная, постройте ее график на промежутке $[-\pi; \pi]$.

Рисунок 70

Решение.

Решение 2 (rus).

В задаче требуется построить график функции $y = \cos x$ на промежутке $[-\pi; \pi]$, имея ее график на промежутке $[0; \pi]$ и зная, что эта функция является четной.

По определению, функция $f(x)$ называется четной, если для любого значения $x$ из ее области определения выполняется равенство $f(-x) = f(x)$. Геометрический смысл этого свойства заключается в том, что график четной функции симметричен относительно оси ординат (оси $Oy$).

Нам дан график функции $y = \cos x$ для $x \in [0; \pi]$. Это правая часть требуемого графика. Чтобы получить левую часть, то есть график для $x \in [-\pi; 0]$, мы должны отразить данную кривую симметрично относительно оси $Oy$.

Выполним построение, отражая ключевые точки:
1. Точка $(\pi, -1)$ на данном графике при симметричном отражении относительно оси $Oy$ переходит в точку $(-\pi, -1)$.
2. Точка $(\frac{\pi}{2}, 0)$, где график пересекает ось абсцисс, переходит в точку $(-\frac{\pi}{2}, 0)$.
3. Точка $(0, 1)$, которая является максимумом функции на данном отрезке, лежит на оси $Oy$, поэтому она остается на месте (переходит сама в себя).

Соединив полученные точки $(-\pi, -1)$, $(-\frac{\pi}{2}, 0)$ и $(0, 1)$ плавной кривой, которая является зеркальным отражением исходной, мы получим недостающую часть графика. Объединив обе части, мы получим полный график функции $y = \cos x$ на отрезке $[-\pi; \pi]$.

Ответ: Чтобы построить график функции $y = \cos x$ на промежутке $[-\pi; \pi]$, необходимо отразить данную на рисунке 70 часть графика (для $x \in [0; \pi]$) симметрично относительно оси ординат $Oy$. В результате получится полная "волна" косинуса, симметричная относительно оси $y$.