Номер 631, страница 182 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

23. Тригонометрические функции и их свойства. IV. Тригонометрия - номер 631, страница 182.

Условие.

631. Докажите, что:

a) $sin^n x \le sin x$, если $x \in [0; \pi]$, $n \in N$;

б) $cos^n x \le cos x$, если $x \in [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, $n \in N$.

Решение.

Решение 2 (rus).

а)

Требуется доказать, что $\sin^n x \le \sin x$ для всех $x \in [0, \pi]$ и $n \in \mathbb{N}$.

Рассмотрим два случая для натурального числа $n$.

1. Если $n = 1$, неравенство принимает вид $\sin^1 x \le \sin x$, что является тождеством и, следовательно, верно.

2. Если $n \ge 2$, преобразуем неравенство. Перенесем все члены в одну сторону:
$\sin x - \sin^n x \ge 0$
Вынесем общий множитель $\sin x$:
$\sin x (1 - \sin^{n-1} x) \ge 0$

Проанализируем знаки множителей на отрезке $x \in [0, \pi]$. На этом отрезке значения функции синус лежат в диапазоне $0 \le \sin x \le 1$.
- Первый множитель, $\sin x$, неотрицателен на заданном отрезке: $\sin x \ge 0$.
- Рассмотрим второй множитель $(1 - \sin^{n-1} x)$. Так как $0 \le \sin x \le 1$ и степень $n-1 \ge 1$, то при возведении в степень значение не увеличится и останется в том же диапазоне: $0 \le \sin^{n-1} x \le 1$. Отсюда следует, что разность $1 - \sin^{n-1} x$ неотрицательна: $1 - \sin^{n-1} x \ge 0$.

Произведение двух неотрицательных множителей ($\sin x$ и $1 - \sin^{n-1} x$) также является неотрицательным. Таким образом, неравенство $\sin x (1 - \sin^{n-1} x) \ge 0$ выполняется. Это равносильно исходному неравенству $\sin^n x \le \sin x$.
Неравенство доказано для всех $n \in \mathbb{N}$.
Ответ: Доказано.

б)

Требуется доказать, что $\cos^n x \le \cos x$ для всех $x \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ и $n \in \mathbb{N}$.

Доказательство полностью аналогично пункту а). Рассмотрим два случая для $n$.

1. Если $n = 1$, неравенство $\cos^1 x \le \cos x$ является верным тождеством.

2. Если $n \ge 2$, преобразуем неравенство к виду $\cos x - \cos^n x \ge 0$ и вынесем общий множитель:
$\cos x (1 - \cos^{n-1} x) \ge 0$.

Проанализируем знаки множителей на отрезке $x \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$. На этом отрезке значения функции косинус лежат в диапазоне $0 \le \cos x \le 1$.
- Первый множитель, $\cos x$, неотрицателен: $\cos x \ge 0$.
- Для второго множителя $(1 - \cos^{n-1} x)$: поскольку $0 \le \cos x \le 1$ и $n-1 \ge 1$, то $0 \le \cos^{n-1} x \le 1$. Следовательно, разность $1 - \cos^{n-1} x$ также неотрицательна: $1 - \cos^{n-1} x \ge 0$.

Произведение двух неотрицательных множителей неотрицательно, что доказывает неравенство $\cos x (1 - \cos^{n-1} x) \ge 0$ и равносильное ему $\cos^n x \le \cos x$.
Неравенство доказано для всех $n \in \mathbb{N}$.
Ответ: Доказано.