Номер 631, страница 182 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

Авторы: Солтан Г. Н., Солтан А. Е., Жумадилова А. Ж.
Тип: Учебник
Издательство: Кокшетау
Год издания: 2019 - 2025
Цвет обложки:
ISBN: 978-601-317-424-2
Рекомендовано Министерством образования и науки Республики Казахстан
Популярные ГДЗ в 9 классе
23. Тригонометрические функции и их свойства. IV. Тригонометрия - номер 631, страница 182.
№631 (с. 182)
Условие. №631 (с. 182)
скриншот условия

631. Докажите, что:
a) $sin^n x \le sin x$, если $x \in [0; \pi]$, $n \in N$;
б) $cos^n x \le cos x$, если $x \in [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, $n \in N$.
Решение. №631 (с. 182)


Решение 2 (rus). №631 (с. 182)
а)
Требуется доказать, что $\sin^n x \le \sin x$ для всех $x \in [0, \pi]$ и $n \in \mathbb{N}$.
Рассмотрим два случая для натурального числа $n$.
1. Если $n = 1$, неравенство принимает вид $\sin^1 x \le \sin x$, что является тождеством и, следовательно, верно.
2. Если $n \ge 2$, преобразуем неравенство. Перенесем все члены в одну сторону:
$\sin x - \sin^n x \ge 0$
Вынесем общий множитель $\sin x$:
$\sin x (1 - \sin^{n-1} x) \ge 0$
Проанализируем знаки множителей на отрезке $x \in [0, \pi]$. На этом отрезке значения функции синус лежат в диапазоне $0 \le \sin x \le 1$.
- Первый множитель, $\sin x$, неотрицателен на заданном отрезке: $\sin x \ge 0$.
- Рассмотрим второй множитель $(1 - \sin^{n-1} x)$. Так как $0 \le \sin x \le 1$ и степень $n-1 \ge 1$, то при возведении в степень значение не увеличится и останется в том же диапазоне: $0 \le \sin^{n-1} x \le 1$. Отсюда следует, что разность $1 - \sin^{n-1} x$ неотрицательна: $1 - \sin^{n-1} x \ge 0$.
Произведение двух неотрицательных множителей ($\sin x$ и $1 - \sin^{n-1} x$) также является неотрицательным. Таким образом, неравенство $\sin x (1 - \sin^{n-1} x) \ge 0$ выполняется. Это равносильно исходному неравенству $\sin^n x \le \sin x$.
Неравенство доказано для всех $n \in \mathbb{N}$.
Ответ: Доказано.
б)
Требуется доказать, что $\cos^n x \le \cos x$ для всех $x \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ и $n \in \mathbb{N}$.
Доказательство полностью аналогично пункту а). Рассмотрим два случая для $n$.
1. Если $n = 1$, неравенство $\cos^1 x \le \cos x$ является верным тождеством.
2. Если $n \ge 2$, преобразуем неравенство к виду $\cos x - \cos^n x \ge 0$ и вынесем общий множитель:
$\cos x (1 - \cos^{n-1} x) \ge 0$.
Проанализируем знаки множителей на отрезке $x \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$. На этом отрезке значения функции косинус лежат в диапазоне $0 \le \cos x \le 1$.
- Первый множитель, $\cos x$, неотрицателен: $\cos x \ge 0$.
- Для второго множителя $(1 - \cos^{n-1} x)$: поскольку $0 \le \cos x \le 1$ и $n-1 \ge 1$, то $0 \le \cos^{n-1} x \le 1$. Следовательно, разность $1 - \cos^{n-1} x$ также неотрицательна: $1 - \cos^{n-1} x \ge 0$.
Произведение двух неотрицательных множителей неотрицательно, что доказывает неравенство $\cos x (1 - \cos^{n-1} x) \ge 0$ и равносильное ему $\cos^n x \le \cos x$.
Неравенство доказано для всех $n \in \mathbb{N}$.
Ответ: Доказано.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 9 класс, для упражнения номер 631 расположенного на странице 182 к учебнику 2019 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №631 (с. 182), авторов: Солтан (Генадий Николаевич), Солтан (Алла Евгеньевна), Жумадилова (Аманбала Жумадиловна), учебного пособия издательства Кокшетау.