Номер 634, страница 185 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

24. Основные тригонометрические тождества. IV. Тригонометрия - номер 634, страница 185.

Условие.

634. Найдите значения остальных тригонометрических функций, если известно, что:

a) $ \sin \alpha = 0,6 $, $ 0^\circ < \alpha < 90^\circ $;

б) $ \cos \alpha = -\frac{1}{3} $, $ 90^\circ < \alpha < 180^\circ $;

в) $ \text{tg} \alpha = 2 $, $ 180^\circ < \alpha < 270^\circ $;

г) $ \text{ctg} \alpha = -3 $, $ 270^\circ < \alpha < 360^\circ $.

Решение.

Решение 2 (rus).

а) Дано: $\sin \alpha = 0.6$ и $0^\circ < \alpha < 90^\circ$. Угол $\alpha$ находится в I четверти, где все тригонометрические функции ($\sin \alpha, \cos \alpha, \tan \alpha, \cot \alpha$) положительны.
1. Найдем $\cos \alpha$ из основного тригонометрического тождества $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$.
$\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha = 1 - (0.6)^2 = 1 - 0.36 = 0.64$.
Так как угол $\alpha$ находится в I четверти, $\cos \alpha$ положителен: $\cos \alpha = \sqrt{0.64} = 0.8$.
2. Найдем $\tan \alpha$ по определению: $\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$.
$\tan \alpha = \frac{0.6}{0.8} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4} = 0.75$.
3. Найдем $\cot \alpha$ по определению: $\cot \alpha = \frac{1}{\tan \alpha}$.
$\cot \alpha = \frac{1}{3/4} = \frac{4}{3}$.
Ответ: $\cos \alpha = 0.8$, $\tan \alpha = 0.75$, $\cot \alpha = \frac{4}{3}$.

б) Дано: $\cos \alpha = -\frac{1}{3}$ и $90^\circ < \alpha < 180^\circ$. Угол $\alpha$ находится во II четверти, где синус положителен ($\sin \alpha > 0$), а тангенс и котангенс отрицательны ($\tan \alpha < 0$, $\cot \alpha < 0$).
1. Найдем $\sin \alpha$ из основного тригонометрического тождества $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$.
$\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha = 1 - \left(-\frac{1}{3}\right)^2 = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$.
Так как угол $\alpha$ находится во II четверти, $\sin \alpha$ положителен: $\sin \alpha = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{\sqrt{8}}{3} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$.
2. Найдем $\tan \alpha$ по определению: $\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$.
$\tan \alpha = \frac{2\sqrt{2}/3}{-1/3} = -2\sqrt{2}$.
3. Найдем $\cot \alpha$ по определению: $\cot \alpha = \frac{1}{\tan \alpha}$.
$\cot \alpha = \frac{1}{-2\sqrt{2}} = -\frac{1}{2\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{4}$.
Ответ: $\sin \alpha = \frac{2\sqrt{2}}{3}$, $\tan \alpha = -2\sqrt{2}$, $\cot \alpha = -\frac{\sqrt{2}}{4}$.

в) Дано: $\tan \alpha = 2$ и $180^\circ < \alpha < 270^\circ$. Угол $\alpha$ находится в III четверти, где синус и косинус отрицательны ($\sin \alpha < 0, \cos \alpha < 0$), а котангенс положителен ($\cot \alpha > 0$).
1. Найдем $\cot \alpha$: $\cot \alpha = \frac{1}{\tan \alpha} = \frac{1}{2}$.
2. Найдем $\cos \alpha$ из тождества $1 + \tan^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha}$.
$\cos^2 \alpha = \frac{1}{1 + \tan^2 \alpha} = \frac{1}{1 + 2^2} = \frac{1}{5}$.
Так как угол $\alpha$ находится в III четверти, $\cos \alpha$ отрицателен: $\cos \alpha = -\sqrt{\frac{1}{5}} = -\frac{1}{\sqrt{5}} = -\frac{\sqrt{5}}{5}$.
3. Найдем $\sin \alpha$ из соотношения $\sin \alpha = \tan \alpha \cdot \cos \alpha$.
$\sin \alpha = 2 \cdot \left(-\frac{\sqrt{5}}{5}\right) = -\frac{2\sqrt{5}}{5}$.
Ответ: $\sin \alpha = -\frac{2\sqrt{5}}{5}$, $\cos \alpha = -\frac{\sqrt{5}}{5}$, $\cot \alpha = \frac{1}{2}$.

г) Дано: $\cot \alpha = -3$ и $270^\circ < \alpha < 360^\circ$. Угол $\alpha$ находится в IV четверти, где косинус положителен ($\cos \alpha > 0$), а синус и тангенс отрицательны ($\sin \alpha < 0$, $\tan \alpha < 0$).
1. Найдем $\tan \alpha$: $\tan \alpha = \frac{1}{\cot \alpha} = -\frac{1}{3}$.
2. Найдем $\sin \alpha$ из тождества $1 + \cot^2 \alpha = \frac{1}{\sin^2 \alpha}$.
$\sin^2 \alpha = \frac{1}{1 + \cot^2 \alpha} = \frac{1}{1 + (-3)^2} = \frac{1}{10}$.
Так как угол $\alpha$ находится в IV четверти, $\sin \alpha$ отрицателен: $\sin \alpha = -\sqrt{\frac{1}{10}} = -\frac{1}{\sqrt{10}} = -\frac{\sqrt{10}}{10}$.
3. Найдем $\cos \alpha$ из соотношения $\cos \alpha = \cot \alpha \cdot \sin \alpha$.
$\cos \alpha = (-3) \cdot \left(-\frac{\sqrt{10}}{10}\right) = \frac{3\sqrt{10}}{10}$.
Ответ: $\sin \alpha = -\frac{\sqrt{10}}{10}$, $\cos \alpha = \frac{3\sqrt{10}}{10}$, $\tan \alpha = -\frac{1}{3}$.