Номер 641, страница 186 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

24. Основные тригонометрические тождества. IV. Тригонометрия - номер 641, страница 186.

Условие.

641. Найдите наименьшее и наибольшее значение выражения:

а) $ \text{tg } \alpha \cdot \text{ctg } \alpha - \text{sin}^2x; $

б) $ \text{cos}^2x - \text{tg } \alpha \cdot \text{ctg } \alpha; $

в) $ \frac{4}{1 + \text{tg}^2 \alpha} - \text{cos } \alpha \cdot \text{sin } \alpha \cdot \text{ctg } \alpha; $

г) $ \frac{2}{1 + \text{ctg}^2 \alpha} - \text{cos } \alpha \cdot \text{sin } \alpha \cdot \text{ctg } \alpha. $

Решение.

Решение 2 (rus).

а) Рассмотрим выражение $tg \alpha \cdot ctg \alpha - \sin^2x$.

Используем основное тригонометрическое тождество $tg \alpha \cdot ctg \alpha = 1$. Данное тождество справедливо для всех углов $\alpha$, для которых существуют тангенс и котангенс, то есть $\alpha \ne \frac{k\pi}{2}$ для любого целого $k$.

После подстановки тождества в исходное выражение, оно принимает вид: $1 - \sin^2x$.

Теперь найдем наименьшее и наибольшее значение этого выражения. Значение выражения зависит только от переменной $x$.

Область значений функции синус составляет отрезок $[-1, 1]$, то есть $-1 \le \sin x \le 1$.

Для квадрата синуса область значений будет $[0, 1]$, то есть $0 \le \sin^2x \le 1$.

Наименьшее значение выражения $1 - \sin^2x$ достигается, когда $\sin^2x$ принимает свое наибольшее значение, равное 1.

Наименьшее значение: $1 - 1 = 0$.

Наибольшее значение выражения $1 - \sin^2x$ достигается, когда $\sin^2x$ принимает свое наименьшее значение, равное 0.

Наибольшее значение: $1 - 0 = 1$.

Ответ: наименьшее значение 0, наибольшее значение 1.

б) Рассмотрим выражение $\cos^2x - tg \alpha \cdot ctg \alpha$.

Аналогично предыдущему пункту, используем тождество $tg \alpha \cdot ctg \alpha = 1$.

Выражение упрощается до вида: $\cos^2x - 1$.

Значение этого выражения зависит от переменной $x$. Область значений функции косинус есть отрезок $[-1, 1]$, то есть $-1 \le \cos x \le 1$.

Следовательно, область значений для $\cos^2x$ есть отрезок $[0, 1]$, то есть $0 \le \cos^2x \le 1$.

Наименьшее значение выражения $\cos^2x - 1$ достигается, когда $\cos^2x$ принимает свое наименьшее значение, равное 0.

Наименьшее значение: $0 - 1 = -1$.

Наибольшее значение выражения $\cos^2x - 1$ достигается, когда $\cos^2x$ принимает свое наибольшее значение, равное 1.

Наибольшее значение: $1 - 1 = 0$.

Ответ: наименьшее значение -1, наибольшее значение 0.

в) Рассмотрим выражение $\frac{4}{1 + \tg^2 \alpha} - \cos \alpha \cdot \sin \alpha \cdot \ctg \alpha$.

Упростим данное выражение по частям. Используем тригонометрические тождества.

Для первой части применим тождество $1 + \tg^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha}$:

$\frac{4}{1 + \tg^2 \alpha} = \frac{4}{1/\cos^2 \alpha} = 4\cos^2 \alpha$.

Для второй части используем определение котангенса $\ctg \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$:

$\cos \alpha \cdot \sin \alpha \cdot \ctg \alpha = \cos \alpha \cdot \sin \alpha \cdot \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \cos^2 \alpha$.

Подставим упрощенные части в исходное выражение:

$4\cos^2 \alpha - \cos^2 \alpha = 3\cos^2 \alpha$.

Теперь найдем наименьшее и наибольшее значения выражения $3\cos^2 \alpha$.

Мы знаем, что область значений $\cos^2 \alpha$ это отрезок $[0, 1]$.

Наименьшее значение выражения достигается, когда $\cos^2 \alpha$ минимально, т.е. равно 0.

Наименьшее значение: $3 \cdot 0 = 0$.

Наибольшее значение выражения достигается, когда $\cos^2 \alpha$ максимально, т.е. равно 1.

Наибольшее значение: $3 \cdot 1 = 3$.

Ответ: наименьшее значение 0, наибольшее значение 3.

г) Рассмотрим выражение $\frac{2}{1 + \ctg^2 \alpha} - \cos \alpha \cdot \sin \alpha \cdot \ctg \alpha$.

Упростим данное выражение по частям.

Для первой части применим тождество $1 + \ctg^2 \alpha = \frac{1}{\sin^2 \alpha}$:

$\frac{2}{1 + \ctg^2 \alpha} = \frac{2}{1/\sin^2 \alpha} = 2\sin^2 \alpha$.

Вторая часть выражения такая же, как в пункте в):

$\cos \alpha \cdot \sin \alpha \cdot \ctg \alpha = \cos^2 \alpha$.

Подставим упрощенные части в исходное выражение:

$2\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha$.

Для дальнейшего упрощения воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha$:

$2\sin^2 \alpha - (1 - \sin^2 \alpha) = 2\sin^2 \alpha - 1 + \sin^2 \alpha = 3\sin^2 \alpha - 1$.

Найдем наименьшее и наибольшее значения выражения $3\sin^2 \alpha - 1$.

Область значений для $\sin^2 \alpha$ есть отрезок $[0, 1]$.

Наименьшее значение выражения достигается при наименьшем значении $\sin^2 \alpha$, т.е. при $\sin^2 \alpha = 0$.

Наименьшее значение: $3 \cdot 0 - 1 = -1$.

Наибольшее значение выражения достигается при наибольшем значении $\sin^2 \alpha$, т.е. при $\sin^2 \alpha = 1$.

Наибольшее значение: $3 \cdot 1 - 1 = 2$.

Ответ: наименьшее значение -1, наибольшее значение 2.