Номер 647, страница 187 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

24. Основные тригонометрические тождества. IV. Тригонометрия - номер 647, страница 187.

Условие.

647. Упростите выражение:

а) $\frac{\sin^3 \alpha + \cos^3 \alpha}{\sin \alpha + \cos \alpha} + \sin \alpha \cdot \cos \alpha$;

б) $\sin^6 \alpha + \cos^6 \alpha + 3\sin^2 \alpha \cdot \cos^2 \alpha$.

Решение.

Решение 2 (rus).

а) $ \frac{\sin^3 \alpha + \cos^3 \alpha}{\sin \alpha + \cos \alpha} + \sin \alpha \cdot \cos \alpha $

Для упрощения числителя дроби воспользуемся формулой суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$.

Применим эту формулу к выражению $\sin^3 \alpha + \cos^3 \alpha$:

$\sin^3 \alpha + \cos^3 \alpha = (\sin \alpha + \cos \alpha)(\sin^2 \alpha - \sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha)$

Подставим это в исходное выражение:

$ \frac{(\sin \alpha + \cos \alpha)(\sin^2 \alpha - \sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha)}{\sin \alpha + \cos \alpha} + \sin \alpha \cos \alpha $

Сократим дробь на $(\sin \alpha + \cos \alpha)$, при условии, что $\sin \alpha + \cos \alpha \neq 0$:

$ \sin^2 \alpha - \sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha + \sin \alpha \cos \alpha $

Сгруппируем слагаемые и применим основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$:

$ (\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha) - \sin \alpha \cos \alpha + \sin \alpha \cos \alpha = 1 - \sin \alpha \cos \alpha + \sin \alpha \cos \alpha $

Приведем подобные слагаемые:

$ 1 + 0 = 1 $

Ответ: 1

б) $ \sin^6 \alpha + \cos^6 \alpha + 3\sin^2\alpha \cdot \cos^2\alpha $

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$.

Возведем обе части этого тождества в куб, используя формулу куба суммы $(a+b)^3 = a^3 + b^3 + 3ab(a+b)$:

$ (\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha)^3 = 1^3 $

Раскроем скобки в левой части:

$ (\sin^2 \alpha)^3 + (\cos^2 \alpha)^3 + 3(\sin^2 \alpha)(\cos^2 \alpha)(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha) = 1 $

Упростим выражение, зная, что $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$:

$ \sin^6 \alpha + \cos^6 \alpha + 3\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha \cdot (1) = 1 $

$ \sin^6 \alpha + \cos^6 \alpha + 3\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha = 1 $

Таким образом, исходное выражение равно 1.

Ответ: 1