Номер 649, страница 188 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

24. Основные тригонометрические тождества. IV. Тригонометрия - номер 649, страница 188.

Условие.

649. Найдите значение выражения

1) $ \sin \alpha \cdot \cos \alpha $, если:

a) $ \sin \alpha + \cos \alpha = 1,4 $;

б) $ \sin \alpha - \cos \alpha = 0,8 $;

2) $ \left| \frac{\sin \alpha + \cos \alpha}{\sin \alpha - \cos \alpha} \right| $, если $ \sin \alpha \cdot \cos \alpha = 0,4 $.

Решение.

Решение 2 (rus).

1) а)Нам дано выражение $sin \alpha + cos \alpha = 1,4$. Чтобы найти $sin \alpha \cdot cos \alpha$, возведем обе части равенства в квадрат:
$(sin \alpha + cos \alpha)^2 = 1,4^2$
Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:
$sin^2 \alpha + 2 \cdot sin \alpha \cdot cos \alpha + cos^2 \alpha = 1,96$
Сгруппируем слагаемые и применим основное тригонометрическое тождество $sin^2 \alpha + cos^2 \alpha = 1$:
$(sin^2 \alpha + cos^2 \alpha) + 2 \cdot sin \alpha \cdot cos \alpha = 1,96$
$1 + 2 \cdot sin \alpha \cdot cos \alpha = 1,96$
Выразим искомое произведение:
$2 \cdot sin \alpha \cdot cos \alpha = 1,96 - 1$
$2 \cdot sin \alpha \cdot cos \alpha = 0,96$
$sin \alpha \cdot cos \alpha = \frac{0,96}{2}$
$sin \alpha \cdot cos \alpha = 0,48$
Ответ: 0,48

1) б)Нам дано выражение $sin \alpha - cos \alpha = 0,8$. Возведем обе части равенства в квадрат, как и в предыдущем пункте:
$(sin \alpha - cos \alpha)^2 = 0,8^2$
Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:
$sin^2 \alpha - 2 \cdot sin \alpha \cdot cos \alpha + cos^2 \alpha = 0,64$
Снова используем основное тригонометрическое тождество $sin^2 \alpha + cos^2 \alpha = 1$:
$(sin^2 \alpha + cos^2 \alpha) - 2 \cdot sin \alpha \cdot cos \alpha = 0,64$
$1 - 2 \cdot sin \alpha \cdot cos \alpha = 0,64$
Выразим искомое произведение:
$2 \cdot sin \alpha \cdot cos \alpha = 1 - 0,64$
$2 \cdot sin \alpha \cdot cos \alpha = 0,36$
$sin \alpha \cdot cos \alpha = \frac{0,36}{2}$
$sin \alpha \cdot cos \alpha = 0,18$
Ответ: 0,18

2)Нам нужно найти значение выражения $|\frac{sin \alpha + cos \alpha}{sin \alpha - cos \alpha}|$, если известно, что $sin \alpha \cdot cos \alpha = 0,4$.
Воспользуемся свойством модуля: $|\frac{a}{b}| = \frac{|a|}{|b|}$. Таким образом, выражение можно переписать как $\frac{|sin \alpha + cos \alpha|}{|sin \alpha - cos \alpha|}$.
Найдем квадраты выражений в числителе и знаменателе.
Квадрат числителя:
$(sin \alpha + cos \alpha)^2 = sin^2 \alpha + 2 \cdot sin \alpha \cdot cos \alpha + cos^2 \alpha = (sin^2 \alpha + cos^2 \alpha) + 2 \cdot sin \alpha \cdot cos \alpha = 1 + 2 \cdot (0,4) = 1 + 0,8 = 1,8$
Следовательно, $|sin \alpha + cos \alpha| = \sqrt{(sin \alpha + cos \alpha)^2} = \sqrt{1,8}$.
Квадрат знаменателя:
$(sin \alpha - cos \alpha)^2 = sin^2 \alpha - 2 \cdot sin \alpha \cdot cos \alpha + cos^2 \alpha = (sin^2 \alpha + cos^2 \alpha) - 2 \cdot sin \alpha \cdot cos \alpha = 1 - 2 \cdot (0,4) = 1 - 0,8 = 0,2$
Следовательно, $|sin \alpha - cos \alpha| = \sqrt{(sin \alpha - cos \alpha)^2} = \sqrt{0,2}$.
Теперь подставим найденные значения в исходное выражение:
$\frac{|sin \alpha + cos \alpha|}{|sin \alpha - cos \alpha|} = \frac{\sqrt{1,8}}{\sqrt{0,2}} = \sqrt{\frac{1,8}{0,2}} = \sqrt{9} = 3$
Ответ: 3