Номер 656, страница 188 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

24. Основные тригонометрические тождества. IV. Тригонометрия - номер 656, страница 188.

Условие.

656. Установите, при каких значениях переменной x принимает наименьшее и наибольшее значения выражение:

a) $ \sin^2 x - 2\cos^2 x; $

б) $ 5\cos^2 x + 6\sin^2 x. $

Решение.

Решение 2 (rus).

а) Для того чтобы найти наименьшее и наибольшее значения выражения $\sin^2x - 2\cos^2x$, мы преобразуем его, используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2x + \cos^2x = 1$.

Выразим $\cos^2x$ через $\sin^2x$: $\cos^2x = 1 - \sin^2x$.

Подставим в исходное выражение:

$\sin^2x - 2(1 - \sin^2x) = \sin^2x - 2 + 2\sin^2x = 3\sin^2x - 2$.

Теперь нам нужно найти область значений выражения $3\sin^2x - 2$. Мы знаем, что значения $\sin x$ находятся в пределах от -1 до 1, следовательно, значения $\sin^2x$ находятся в пределах от 0 до 1, то есть $0 \le \sin^2x \le 1$.

Наименьшее значение выражения достигается, когда $\sin^2x$ принимает свое наименьшее значение, то есть $\sin^2x = 0$.

Наименьшее значение: $3 \cdot 0 - 2 = -2$.

Это происходит при условии $\sin x = 0$, что соответствует значениям $x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Наибольшее значение выражения достигается, когда $\sin^2x$ принимает свое наибольшее значение, то есть $\sin^2x = 1$.

Наибольшее значение: $3 \cdot 1 - 2 = 1$.

Это происходит при условии $\sin^2x = 1$, то есть $\sin x = 1$ или $\sin x = -1$, что соответствует значениям $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: наименьшее значение выражения равно -2 и достигается при $x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$; наибольшее значение равно 1 и достигается при $x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б) Рассмотрим выражение $5\cos^2x + 6\sin^2x$.

Для упрощения используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2x + \cos^2x = 1$. Представим $6\sin^2x$ как $5\sin^2x + \sin^2x$:

$5\cos^2x + 6\sin^2x = 5\cos^2x + 5\sin^2x + \sin^2x = 5(\cos^2x + \sin^2x) + \sin^2x$.

Так как $\cos^2x + \sin^2x = 1$, выражение упрощается до:

$5 \cdot 1 + \sin^2x = 5 + \sin^2x$.

Как и в предыдущем пункте, мы знаем, что $0 \le \sin^2x \le 1$.

Наименьшее значение выражения $5 + \sin^2x$ достигается при наименьшем значении $\sin^2x$, то есть при $\sin^2x = 0$.

Наименьшее значение: $5 + 0 = 5$.

Это происходит при условии $\sin x = 0$, что соответствует значениям $x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Наибольшее значение выражения $5 + \sin^2x$ достигается при наибольшем значении $\sin^2x$, то есть при $\sin^2x = 1$.

Наибольшее значение: $5 + 1 = 6$.

Это происходит при условии $\sin^2x = 1$, то есть $\sin x = 1$ или $\sin x = -1$, что соответствует значениям $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: наименьшее значение выражения равно 5 и достигается при $x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$; наибольшее значение равно 6 и достигается при $x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.