Номер 656, страница 188 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

Авторы: Солтан Г. Н., Солтан А. Е., Жумадилова А. Ж.
Тип: Учебник
Издательство: Кокшетау
Год издания: 2019 - 2025
Цвет обложки:
ISBN: 978-601-317-424-2
Рекомендовано Министерством образования и науки Республики Казахстан
Популярные ГДЗ в 9 классе
24. Основные тригонометрические тождества. IV. Тригонометрия - номер 656, страница 188.
№656 (с. 188)
Условие. №656 (с. 188)
скриншот условия

656. Установите, при каких значениях переменной x принимает наименьшее и наибольшее значения выражение:
a) $ \sin^2 x - 2\cos^2 x; $
б) $ 5\cos^2 x + 6\sin^2 x. $
Решение. №656 (с. 188)


Решение 2 (rus). №656 (с. 188)
а) Для того чтобы найти наименьшее и наибольшее значения выражения $\sin^2x - 2\cos^2x$, мы преобразуем его, используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2x + \cos^2x = 1$.
Выразим $\cos^2x$ через $\sin^2x$: $\cos^2x = 1 - \sin^2x$.
Подставим в исходное выражение:
$\sin^2x - 2(1 - \sin^2x) = \sin^2x - 2 + 2\sin^2x = 3\sin^2x - 2$.
Теперь нам нужно найти область значений выражения $3\sin^2x - 2$. Мы знаем, что значения $\sin x$ находятся в пределах от -1 до 1, следовательно, значения $\sin^2x$ находятся в пределах от 0 до 1, то есть $0 \le \sin^2x \le 1$.
Наименьшее значение выражения достигается, когда $\sin^2x$ принимает свое наименьшее значение, то есть $\sin^2x = 0$.
Наименьшее значение: $3 \cdot 0 - 2 = -2$.
Это происходит при условии $\sin x = 0$, что соответствует значениям $x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Наибольшее значение выражения достигается, когда $\sin^2x$ принимает свое наибольшее значение, то есть $\sin^2x = 1$.
Наибольшее значение: $3 \cdot 1 - 2 = 1$.
Это происходит при условии $\sin^2x = 1$, то есть $\sin x = 1$ или $\sin x = -1$, что соответствует значениям $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: наименьшее значение выражения равно -2 и достигается при $x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$; наибольшее значение равно 1 и достигается при $x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
б) Рассмотрим выражение $5\cos^2x + 6\sin^2x$.
Для упрощения используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2x + \cos^2x = 1$. Представим $6\sin^2x$ как $5\sin^2x + \sin^2x$:
$5\cos^2x + 6\sin^2x = 5\cos^2x + 5\sin^2x + \sin^2x = 5(\cos^2x + \sin^2x) + \sin^2x$.
Так как $\cos^2x + \sin^2x = 1$, выражение упрощается до:
$5 \cdot 1 + \sin^2x = 5 + \sin^2x$.
Как и в предыдущем пункте, мы знаем, что $0 \le \sin^2x \le 1$.
Наименьшее значение выражения $5 + \sin^2x$ достигается при наименьшем значении $\sin^2x$, то есть при $\sin^2x = 0$.
Наименьшее значение: $5 + 0 = 5$.
Это происходит при условии $\sin x = 0$, что соответствует значениям $x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Наибольшее значение выражения $5 + \sin^2x$ достигается при наибольшем значении $\sin^2x$, то есть при $\sin^2x = 1$.
Наибольшее значение: $5 + 1 = 6$.
Это происходит при условии $\sin^2x = 1$, то есть $\sin x = 1$ или $\sin x = -1$, что соответствует значениям $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: наименьшее значение выражения равно 5 и достигается при $x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$; наибольшее значение равно 6 и достигается при $x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 9 класс, для упражнения номер 656 расположенного на странице 188 к учебнику 2019 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №656 (с. 188), авторов: Солтан (Генадий Николаевич), Солтан (Алла Евгеньевна), Жумадилова (Аманбала Жумадиловна), учебного пособия издательства Кокшетау.