Номер 660, страница 191 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

25. Формулы приведения. IV. Тригонометрия - номер 660, страница 191.

Условие.

660. Выразите следующие тригонометрические функции через тригонометрические функции положительных углов, меньших 45$^\circ$:

а) $\sin 70^\circ$, $\cos 50^\circ$, $\text{tg } 68^\circ$, $\text{ctg } 73^\circ$;

б) $\sin 175^\circ$, $\cos 130^\circ$, $\text{tg } 165^\circ$, $\text{ctg } 170^\circ$;

в) $\sin 220^\circ$, $\cos 240^\circ$, $\text{tg } 190^\circ$, $\text{ctg } 250^\circ$;

г) $\sin 320^\circ$, $\cos 290^\circ$, $\text{tg } 340^\circ$, $\text{ctg } 325^\circ$;

д) $\sin 560^\circ$, $\cos 840^\circ$, $\text{tg } 760^\circ$, $\text{ctg } 990^\circ$;

е) $\sin(-310^\circ)$, $\cos(-500^\circ)$, $\text{tg }(-400^\circ)$, $\text{ctg }(-830^\circ)$.

Решение.

Решение 2 (rus).

а) Для приведения данных тригонометрических функций к функциям углов, меньших 45°, используем формулы приведения, в частности, формулы для угла $90^\circ - \alpha$:

$ \sin 70^\circ = \sin(90^\circ - 20^\circ) = \cos 20^\circ $;

$ \cos 50^\circ = \cos(90^\circ - 40^\circ) = \sin 40^\circ $;

$ \operatorname{tg} 68^\circ = \operatorname{tg}(90^\circ - 22^\circ) = \operatorname{ctg} 22^\circ $;

$ \operatorname{ctg} 73^\circ = \operatorname{ctg}(90^\circ - 17^\circ) = \operatorname{tg} 17^\circ $.

Ответ: $ \cos 20^\circ; \sin 40^\circ; \operatorname{ctg} 22^\circ; \operatorname{tg} 17^\circ $.

б) Углы находятся во второй четверти. Используем формулы приведения для углов $180^\circ - \alpha$ или $90^\circ + \alpha$:

$ \sin 175^\circ = \sin(180^\circ - 5^\circ) = \sin 5^\circ $ (синус во II четверти положителен);

$ \cos 130^\circ = \cos(90^\circ + 40^\circ) = -\sin 40^\circ $ (косинус во II четверти отрицателен);

$ \operatorname{tg} 165^\circ = \operatorname{tg}(180^\circ - 15^\circ) = -\operatorname{tg} 15^\circ $ (тангенс во II четверти отрицателен);

$ \operatorname{ctg} 170^\circ = \operatorname{ctg}(180^\circ - 10^\circ) = -\operatorname{ctg} 10^\circ $ (котангенс во II четверти отрицателен).

Ответ: $ \sin 5^\circ; -\sin 40^\circ; -\operatorname{tg} 15^\circ; -\operatorname{ctg} 10^\circ $.

в) Углы находятся в третьей четверти. Используем формулы приведения для углов $180^\circ + \alpha$ или $270^\circ - \alpha$:

$ \sin 220^\circ = \sin(180^\circ + 40^\circ) = -\sin 40^\circ $ (синус в III четверти отрицателен);

$ \cos 240^\circ = \cos(270^\circ - 30^\circ) = -\sin 30^\circ $ (косинус в III четверти отрицателен);

$ \operatorname{tg} 190^\circ = \operatorname{tg}(180^\circ + 10^\circ) = \operatorname{tg} 10^\circ $ (тангенс в III четверти положителен);

$ \operatorname{ctg} 250^\circ = \operatorname{ctg}(270^\circ - 20^\circ) = \operatorname{tg} 20^\circ $ (котангенс в III четверти положителен).

Ответ: $ -\sin 40^\circ; -\sin 30^\circ; \operatorname{tg} 10^\circ; \operatorname{tg} 20^\circ $.

г) Углы находятся в четвертой четверти. Используем формулы приведения для углов $360^\circ - \alpha$ или $270^\circ + \alpha$:

$ \sin 320^\circ = \sin(360^\circ - 40^\circ) = -\sin 40^\circ $ (синус в IV четверти отрицателен);

$ \cos 290^\circ = \cos(270^\circ + 20^\circ) = \sin 20^\circ $ (косинус в IV четверти положителен);

$ \operatorname{tg} 340^\circ = \operatorname{tg}(360^\circ - 20^\circ) = -\operatorname{tg} 20^\circ $ (тангенс в IV четверти отрицателен);

$ \operatorname{ctg} 325^\circ = \operatorname{ctg}(360^\circ - 35^\circ) = -\operatorname{ctg} 35^\circ $ (котангенс в IV четверти отрицателен).

Ответ: $ -\sin 40^\circ; \sin 20^\circ; -\operatorname{tg} 20^\circ; -\operatorname{ctg} 35^\circ $.

д) Углы больше 360°. Сначала используем периодичность тригонометрических функций, чтобы уменьшить угол:

$ \sin 560^\circ = \sin(360^\circ + 200^\circ) = \sin 200^\circ = \sin(180^\circ + 20^\circ) = -\sin 20^\circ $;

$ \cos 840^\circ = \cos(2 \cdot 360^\circ + 120^\circ) = \cos 120^\circ = \cos(90^\circ + 30^\circ) = -\sin 30^\circ $;

$ \operatorname{tg} 760^\circ = \operatorname{tg}(4 \cdot 180^\circ + 40^\circ) = \operatorname{tg} 40^\circ $;

$ \operatorname{ctg} 990^\circ = \operatorname{ctg}(5 \cdot 180^\circ + 90^\circ) = \operatorname{ctg} 90^\circ = 0 $.

Ответ: $ -\sin 20^\circ; -\sin 30^\circ; \operatorname{tg} 40^\circ; 0 $.

е) Углы отрицательные. Сначала используем свойства четности и нечетности тригонометрических функций:

$ \sin(-310^\circ) = -\sin 310^\circ = -\sin(360^\circ - 50^\circ) = -(-\sin 50^\circ) = \sin 50^\circ = \cos 40^\circ $;

$ \cos(-500^\circ) = \cos 500^\circ = \cos(360^\circ + 140^\circ) = \cos 140^\circ = \cos(180^\circ - 40^\circ) = -\cos 40^\circ $;

$ \operatorname{tg}(-400^\circ) = -\operatorname{tg} 400^\circ = -\operatorname{tg}(2 \cdot 180^\circ + 40^\circ) = -\operatorname{tg} 40^\circ $;

$ \operatorname{ctg}(-830^\circ) = -\operatorname{ctg} 830^\circ = -\operatorname{ctg}(4 \cdot 180^\circ + 110^\circ) = -\operatorname{ctg} 110^\circ = -\operatorname{ctg}(180^\circ - 70^\circ) = -(-\operatorname{ctg} 70^\circ) = \operatorname{ctg} 70^\circ = \operatorname{tg} 20^\circ $.

Ответ: $ \cos 40^\circ; -\cos 40^\circ; -\operatorname{tg} 40^\circ; \operatorname{tg} 20^\circ $.