Номер 666, страница 192 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

25. Формулы приведения. IV. Тригонометрия - номер 666, страница 192.

Условие.

666. Укажите углы из промежутка $(0; 2\pi)$:

а) синусы которых равны $1/2, -\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, -1, 0;$

б) косинусы которых равны $1, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0, \frac{\sqrt{2}}{2};$

в) тангенсы которых равны $-1, \sqrt{3}, -\frac{\sqrt{3}}{3}, 0.$

Решение.

Решение 2 (rus).

а) синусы которых равны $\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, -1, 0$

Для каждого значения синуса найдем соответствующие углы $\alpha$ в промежутке $(0; 2\pi)$. Мы будем использовать единичную окружность, где синус угла соответствует ординате (координате y) точки на окружности.

• $\sin \alpha = \frac{1}{2}$

  Этому значению соответствуют два угла, по одному в первой и второй четвертях. Основной угол (в первой четверти) равен $\arcsin(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{6}$. Второй угол (во второй четверти) равен $\pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.

  Углы: $\frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}$.

• $\sin \alpha = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

  Отрицательное значение синуса означает, что углы находятся в третьей и четвертой четвертях. Опорный угол равен $\arcsin(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\pi}{4}$. Угол в третьей четверти: $\pi + \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{4}$. Угол в четвертой четверти: $2\pi - \frac{\pi}{4} = \frac{7\pi}{4}$.

  Углы: $\frac{5\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}$.

• $\sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$

  Положительное значение, углы в первой и второй четвертях. Основной угол: $\arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\pi}{3}$. Второй угол: $\pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$.

  Углы: $\frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}$.

• $\sin \alpha = -1$

  Этому значению соответствует точка в нижней части единичной окружности.

  Угол: $\frac{3\pi}{2}$.

• $\sin \alpha = 0$

  Этому значению соответствуют точки пересечения окружности с осью абсцисс, то есть углы $0$ и $\pi$. В интервал $(0; 2\pi)$ входит только $\pi$.

  Угол: $\pi$.

Ответ: для $\frac{1}{2}$ это углы $\frac{\pi}{6}$ и $\frac{5\pi}{6}$; для $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ это углы $\frac{5\pi}{4}$ и $\frac{7\pi}{4}$; для $\frac{\sqrt{3}}{2}$ это углы $\frac{\pi}{3}$ и $\frac{2\pi}{3}$; для $-1$ это угол $\frac{3\pi}{2}$; для $0$ это угол $\pi$.

б) косинусы которых равны $1, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0, \frac{\sqrt{2}}{2}$

Для каждого значения косинуса найдем соответствующие углы $\alpha$ в промежутке $(0; 2\pi)$. Косинус угла соответствует абсциссе (координате x) точки на единичной окружности.

• $\cos \alpha = 1$

  Этому значению соответствует точка на окружности с координатами $(1, 0)$, что соответствует углу $0$ (или $2\pi$). Ни $0$, ни $2\pi$ не входят в интервал $(0; 2\pi)$, поэтому решений в данном промежутке нет.

• $\cos \alpha = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

  Отрицательное значение косинуса, углы во второй и третьей четвертях. Опорный угол $\arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\pi}{6}$. Угол во второй четверти: $\pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$. Угол в третьей четверти: $\pi + \frac{\pi}{6} = \frac{7\pi}{6}$.

  Углы: $\frac{5\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}$.

• $\cos \alpha = 0$

  Этому значению соответствуют точки пересечения окружности с осью ординат.

  Углы: $\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}$.

• $\cos \alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}$

  Положительное значение, углы в первой и четвертой четвертях. Основной угол: $\arccos(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\pi}{4}$. Угол в четвертой четверти: $2\pi - \frac{\pi}{4} = \frac{7\pi}{4}$.

  Углы: $\frac{\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}$.

Ответ: для $1$ решений в заданном промежутке нет; для $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ это углы $\frac{5\pi}{6}$ и $\frac{7\pi}{6}$; для $0$ это углы $\frac{\pi}{2}$ и $\frac{3\pi}{2}$; для $\frac{\sqrt{2}}{2}$ это углы $\frac{\pi}{4}$ и $\frac{7\pi}{4}$.

в) тангенсы которых равны $-1, \sqrt{3}, -\frac{\sqrt{3}}{3}, 0$

Для каждого значения тангенса найдем соответствующие углы $\alpha$ в промежутке $(0; 2\pi)$.

• $\tan \alpha = -1$

  Отрицательное значение, углы во второй и четвертой четвертях. Опорный угол $\arctan(1) = \frac{\pi}{4}$. Угол во второй четверти: $\pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$. Угол в четвертой четверти: $2\pi - \frac{\pi}{4} = \frac{7\pi}{4}$.

  Углы: $\frac{3\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}$.

• $\tan \alpha = \sqrt{3}$

  Положительное значение, углы в первой и третьей четвертях. Основной угол: $\arctan(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3}$. Угол в третьей четверти: $\pi + \frac{\pi}{3} = \frac{4\pi}{3}$.

  Углы: $\frac{\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}$.

• $\tan \alpha = -\frac{\sqrt{3}}{3}$

  Отрицательное значение, углы во второй и четвертой четвертях. Опорный угол $\arctan(\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\pi}{6}$. Угол во второй четверти: $\pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$. Угол в четвертой четверти: $2\pi - \frac{\pi}{6} = \frac{11\pi}{6}$.

  Углы: $\frac{5\pi}{6}, \frac{11\pi}{6}$.

• $\tan \alpha = 0$

  Тангенс равен нулю, когда синус равен нулю, т.е. при углах $0$ и $\pi$. В интервал $(0; 2\pi)$ входит только $\pi$.

  Угол: $\pi$.

Ответ: для $-1$ это углы $\frac{3\pi}{4}$ и $\frac{7\pi}{4}$; для $\sqrt{3}$ это углы $\frac{\pi}{3}$ и $\frac{4\pi}{3}$; для $-\frac{\sqrt{3}}{3}$ это углы $\frac{5\pi}{6}$ и $\frac{11\pi}{6}$; для $0$ это угол $\pi$.