Номер 663, страница 192 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

25. Формулы приведения. IV. Тригонометрия - номер 663, страница 192.

Условие.

663. Замените тригонометрической функцией угла $\alpha$:

а) $sin\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right)$;

б) $cos\left(\frac{3\pi}{2} - \alpha\right)$;

в) $tg\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right)$;

г) $ctg\left(\frac{3\pi}{2} + \alpha\right)$;

д) $cos\left(\pi + \alpha\right)$;

е) $sin\left(2\pi - \alpha\right)$.

Решение.

Решение 2 (rus).

Для решения данных задач воспользуемся формулами приведения. Общее правило состоит из двух шагов:

1. Определение итоговой функции: если в аргументе исходной функции содержится угол $ \frac{\pi}{2} $ или $ \frac{3\pi}{2} $ (точки на вертикальной оси), то функция меняется на кофункцию (sin ↔ cos, tg ↔ ctg). Если же в аргументе $ \pi $ или $ 2\pi $ (точки на горизонтальной оси), то функция не меняется.
2. Определение знака итоговой функции: знак определяется по знаку исходной функции в той четверти, в которой находится угол, если считать $ \alpha $ малым острым углом.

а) Рассматриваем выражение $ \sin(\frac{\pi}{2} + \alpha) $.

1. Аргумент содержит $ \frac{\pi}{2} $, поэтому функция $ \sin $ меняется на кофункцию $ \cos $.

2. Угол $ \frac{\pi}{2} + \alpha $ находится во второй координатной четверти. В этой четверти исходная функция $ \sin $ имеет знак "+".

Следовательно, $ \sin(\frac{\pi}{2} + \alpha) = \cos(\alpha) $.

Ответ: $ \cos(\alpha) $

б) Рассматриваем выражение $ \cos(\frac{3\pi}{2} - \alpha) $.

1. Аргумент содержит $ \frac{3\pi}{2} $, поэтому функция $ \cos $ меняется на кофункцию $ \sin $.

2. Угол $ \frac{3\pi}{2} - \alpha $ находится в третьей координатной четверти. В этой четверти исходная функция $ \cos $ имеет знак "−".

Следовательно, $ \cos(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = -\sin(\alpha) $.

Ответ: $ -\sin(\alpha) $

в) Рассматриваем выражение $ \operatorname{tg}(\frac{\pi}{2} + \alpha) $.

1. Аргумент содержит $ \frac{\pi}{2} $, поэтому функция $ \operatorname{tg} $ меняется на кофункцию $ \operatorname{ctg} $.

2. Угол $ \frac{\pi}{2} + \alpha $ находится во второй координатной четверти. В этой четверти исходная функция $ \operatorname{tg} $ имеет знак "−".

Следовательно, $ \operatorname{tg}(\frac{\pi}{2} + \alpha) = -\operatorname{ctg}(\alpha) $.

Ответ: $ -\operatorname{ctg}(\alpha) $

г) Рассматриваем выражение $ \operatorname{ctg}(\frac{3\pi}{2} + \alpha) $.

1. Аргумент содержит $ \frac{3\pi}{2} $, поэтому функция $ \operatorname{ctg} $ меняется на кофункцию $ \operatorname{tg} $.

2. Угол $ \frac{3\pi}{2} + \alpha $ находится в четвертой координатной четверти. В этой четверти исходная функция $ \operatorname{ctg} $ имеет знак "−".

Следовательно, $ \operatorname{ctg}(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = -\operatorname{tg}(\alpha) $.

Ответ: $ -\operatorname{tg}(\alpha) $

д) Рассматриваем выражение $ \cos(\pi + \alpha) $.

1. Аргумент содержит $ \pi $, поэтому функция $ \cos $ не меняется.

2. Угол $ \pi + \alpha $ находится в третьей координатной четверти. В этой четверти исходная функция $ \cos $ имеет знак "−".

Следовательно, $ \cos(\pi + \alpha) = -\cos(\alpha) $.

Ответ: $ -\cos(\alpha) $

е) Рассматриваем выражение $ \sin(2\pi - \alpha) $.

1. Аргумент содержит $ 2\pi $, поэтому функция $ \sin $ не меняется.

2. Угол $ 2\pi - \alpha $ находится в четвертой координатной четверти. В этой четверти исходная функция $ \sin $ имеет знак "−".

Следовательно, $ \sin(2\pi - \alpha) = -\sin(\alpha) $.

Ответ: $ -\sin(\alpha) $