Номер 664, страница 192 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

25. Формулы приведения. IV. Тригонометрия - номер 664, страница 192.

Условие.

664. Преобразуйте выражение:

a) $\sin\left(\alpha - \frac{\pi}{2}\right)$;

б) $\cos\left(\alpha - \frac{\pi}{2}\right)$;

в) $\sin(\alpha - \pi)$;

г) $\cos(\alpha - \pi)$;

д) $\operatorname{tg}\left(\alpha - \frac{3\pi}{2}\right)$;

е) $\operatorname{ctg}\left(\alpha - \frac{\pi}{2}\right)$.

Решение.

Решение 2 (rus).

а) Для преобразования выражения $sin(\alpha - \frac{\pi}{2})$ воспользуемся свойством нечетности синуса $sin(-x) = -sin(x)$ и формулой приведения $sin(\frac{\pi}{2} - x) = cos(x)$.
Сначала вынесем знак минус из аргумента функции:
$sin(\alpha - \frac{\pi}{2}) = sin(-(\frac{\pi}{2} - \alpha))$.
Согласно свойству нечетности синуса, $sin(-y) = -sin(y)$, поэтому:
$sin(-(\frac{\pi}{2} - \alpha)) = -sin(\frac{\pi}{2} - \alpha)$.
Теперь применим формулу приведения $sin(\frac{\pi}{2} - \alpha) = cos(\alpha)$:
$-sin(\frac{\pi}{2} - \alpha) = -cos(\alpha)$.
Ответ: $-cos(\alpha)$

б) Для преобразования выражения $cos(\alpha - \frac{\pi}{2})$ воспользуемся свойством четности косинуса $cos(-x) = cos(x)$ и формулой приведения $cos(\frac{\pi}{2} - x) = sin(x)$.
Вынесем знак минус из аргумента функции:
$cos(\alpha - \frac{\pi}{2}) = cos(-(\frac{\pi}{2} - \alpha))$.
Согласно свойству четности косинуса, $cos(-y) = cos(y)$, поэтому:
$cos(-(\frac{\pi}{2} - \alpha)) = cos(\frac{\pi}{2} - \alpha)$.
Применяем формулу приведения $cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) = sin(\alpha)$:
$cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) = sin(\alpha)$.
Ответ: $sin(\alpha)$

в) Для преобразования выражения $sin(\alpha - \pi)$ используем свойство нечетности синуса $sin(-x) = -sin(x)$ и формулу приведения $sin(\pi - x) = sin(x)$.
$sin(\alpha - \pi) = sin(-(\pi - \alpha)) = -sin(\pi - \alpha)$.
По формуле приведения, $sin(\pi - \alpha) = sin(\alpha)$, следовательно:
$-sin(\pi - \alpha) = -sin(\alpha)$.
Ответ: $-sin(\alpha)$

г) Для преобразования выражения $cos(\alpha - \pi)$ используем свойство четности косинуса $cos(-x) = cos(x)$ и формулу приведения $cos(\pi - x) = -cos(x)$.
$cos(\alpha - \pi) = cos(-(\pi - \alpha)) = cos(\pi - \alpha)$.
По формуле приведения, $cos(\pi - \alpha) = -cos(\alpha)$.
Ответ: $-cos(\alpha)$

д) Для преобразования выражения $tg(\alpha - \frac{3\pi}{2})$ воспользуемся свойством нечетности тангенса $tg(-x) = -tg(x)$ и формулой приведения $tg(\frac{3\pi}{2} - x) = ctg(x)$.
$tg(\alpha - \frac{3\pi}{2}) = tg(-(\frac{3\pi}{2} - \alpha)) = -tg(\frac{3\pi}{2} - \alpha)$.
По формуле приведения, так как угол $\frac{3\pi}{2} - \alpha$ находится в III четверти (где тангенс положителен) и вычитание идет из $\frac{3\pi}{2}$, функция меняется на кофункцию: $tg(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = ctg(\alpha)$.
Следовательно, итоговое выражение: $-ctg(\alpha)$.
Ответ: $-ctg(\alpha)$

е) Для преобразования выражения $ctg(\alpha - \frac{\pi}{2})$ используем свойство нечетности котангенса $ctg(-x) = -ctg(x)$ и формулу приведения $ctg(\frac{\pi}{2} - x) = tg(x)$.
$ctg(\alpha - \frac{\pi}{2}) = ctg(-(\frac{\pi}{2} - \alpha)) = -ctg(\frac{\pi}{2} - \alpha)$.
По формуле приведения, так как угол $\frac{\pi}{2} - \alpha$ находится в I четверти (где котангенс положителен) и вычитание идет из $\frac{\pi}{2}$, функция меняется на кофункцию: $ctg(\frac{\pi}{2} - \alpha) = tg(\alpha)$.
Следовательно, итоговое выражение: $-tg(\alpha)$.
Ответ: $-tg(\alpha)$