Номер 659, страница 191 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

25. Формулы приведения. IV. Тригонометрия - номер 659, страница 191.

Условие.

659. Упростите выражение:

a) $\frac{\cos(-\alpha) \cdot \cos(180^\circ + \alpha)}{\sin(-\alpha) \cdot \sin(90^\circ + \alpha)}$

б) $\frac{\sin(-\alpha) \cdot \operatorname{ctg}(-\alpha)}{\cos(360^\circ - \alpha) \cdot \operatorname{tg}(180^\circ + \alpha)}$

в) $\frac{\operatorname{tg}(180^\circ - \alpha) \cdot \sin(270^\circ + \alpha)}{\cos(180^\circ - \alpha) \cdot \operatorname{tg}(270^\circ - \alpha)}$

г) $\frac{\cos(270^\circ + \alpha) \cdot \operatorname{ctg}(270^\circ - \alpha)}{\sin(180^\circ - \alpha) \cdot \operatorname{tg}(270^\circ + \alpha)}$

Решение.

Решение 2 (rus).

а)

Упростим выражение $ \frac{\cos(-\alpha) \cdot \cos(180^{\circ} + \alpha)}{\sin(-\alpha) \cdot \sin(90^{\circ} + \alpha)} $, используя формулы приведения и свойства четности/нечетности тригонометрических функций.

Рассмотрим каждый множитель отдельно:

$ \cos(-\alpha) = \cos(\alpha) $, так как косинус является четной функцией.
$ \cos(180^{\circ} + \alpha) = -\cos(\alpha) $, так как угол $ 180^{\circ} + \alpha $ находится в III четверти, где косинус отрицателен.
$ \sin(-\alpha) = -\sin(\alpha) $, так как синус является нечетной функцией.
$ \sin(90^{\circ} + \alpha) = \cos(\alpha) $, так как угол $ 90^{\circ} + \alpha $ находится во II четверти, где синус положителен, а функция синус меняется на кофункцию косинус.

Подставим полученные значения обратно в исходное выражение:

$ \frac{\cos(\alpha) \cdot (-\cos(\alpha))}{(-\sin(\alpha)) \cdot \cos(\alpha)} = \frac{-\cos^2(\alpha)}{-\sin(\alpha)\cos(\alpha)} $

Сократим дробь на $ -\cos(\alpha) $:

$ \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)} = \operatorname{ctg}(\alpha) $

Ответ: $ \operatorname{ctg}(\alpha) $

б)

Упростим выражение $ \frac{\sin(-\alpha) \cdot \operatorname{ctg}(-\alpha)}{\cos(360^{\circ} - \alpha) \cdot \operatorname{tg}(180^{\circ} + \alpha)} $.

Рассмотрим каждый множитель отдельно:

$ \sin(-\alpha) = -\sin(\alpha) $ (нечетная функция).
$ \operatorname{ctg}(-\alpha) = -\operatorname{ctg}(\alpha) $ (нечетная функция).
$ \cos(360^{\circ} - \alpha) = \cos(\alpha) $, так как угол $ 360^{\circ} - \alpha $ находится в IV четверти, где косинус положителен.
$ \operatorname{tg}(180^{\circ} + \alpha) = \operatorname{tg}(\alpha) $, так как угол $ 180^{\circ} + \alpha $ находится в III четверти, где тангенс положителен.

Подставим упрощенные выражения в дробь:

$ \frac{(-\sin(\alpha)) \cdot (-\operatorname{ctg}(\alpha))}{\cos(\alpha) \cdot \operatorname{tg}(\alpha)} = \frac{\sin(\alpha) \cdot \operatorname{ctg}(\alpha)}{\cos(\alpha) \cdot \operatorname{tg}(\alpha)} $

Заменим котангенс и тангенс через синус и косинус: $ \operatorname{ctg}(\alpha) = \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)} $ и $ \operatorname{tg}(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} $.

$ \frac{\sin(\alpha) \cdot \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)}}{\cos(\alpha) \cdot \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}} = \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)} = \operatorname{ctg}(\alpha) $

Ответ: $ \operatorname{ctg}(\alpha) $

в)

Упростим выражение $ \frac{\operatorname{tg}(180^{\circ} - \alpha) \cdot \sin(270^{\circ} + \alpha)}{\cos(180^{\circ} - \alpha) \cdot \operatorname{tg}(270^{\circ} - \alpha)} $.

Рассмотрим каждый множитель отдельно:

$ \operatorname{tg}(180^{\circ} - \alpha) = -\operatorname{tg}(\alpha) $ (угол во II четверти, тангенс отрицателен).
$ \sin(270^{\circ} + \alpha) = -\cos(\alpha) $ (угол в IV четверти, синус отрицателен, функция меняется на кофункцию).
$ \cos(180^{\circ} - \alpha) = -\cos(\alpha) $ (угол во II четверти, косинус отрицателен).
$ \operatorname{tg}(270^{\circ} - \alpha) = \operatorname{ctg}(\alpha) $ (угол в III четверти, тангенс положителен, функция меняется на кофункцию).

Подставим полученные значения в выражение:

$ \frac{(-\operatorname{tg}(\alpha)) \cdot (-\cos(\alpha))}{(-\cos(\alpha)) \cdot \operatorname{ctg}(\alpha)} = \frac{\operatorname{tg}(\alpha) \cdot \cos(\alpha)}{-\cos(\alpha) \cdot \operatorname{ctg}(\alpha)} $

Сократим дробь на $ \cos(\alpha) $:

$ \frac{\operatorname{tg}(\alpha)}{-\operatorname{ctg}(\alpha)} $

Так как $ \operatorname{ctg}(\alpha) = \frac{1}{\operatorname{tg}(\alpha)} $, получаем:

$ -\frac{\operatorname{tg}(\alpha)}{\frac{1}{\operatorname{tg}(\alpha)}} = -\operatorname{tg}(\alpha) \cdot \operatorname{tg}(\alpha) = -\operatorname{tg}^2(\alpha) $

Ответ: $ -\operatorname{tg}^2(\alpha) $

г)

Упростим выражение $ \frac{\cos(270^{\circ} + \alpha) \cdot \operatorname{ctg}(270^{\circ} - \alpha)}{\sin(180^{\circ} - \alpha) \cdot \operatorname{tg}(270^{\circ} + \alpha)} $.

Рассмотрим каждый множитель отдельно:

$ \cos(270^{\circ} + \alpha) = \sin(\alpha) $ (угол в IV четверти, косинус положителен, функция меняется на кофункцию).
$ \operatorname{ctg}(270^{\circ} - \alpha) = \operatorname{tg}(\alpha) $ (угол в III четверти, котангенс положителен, функция меняется на кофункцию).
$ \sin(180^{\circ} - \alpha) = \sin(\alpha) $ (угол во II четверти, синус положителен).
$ \operatorname{tg}(270^{\circ} + \alpha) = -\operatorname{ctg}(\alpha) $ (угол в IV четверти, тангенс отрицателен, функция меняется на кофункцию).

Подставим полученные значения в выражение:

$ \frac{\sin(\alpha) \cdot \operatorname{tg}(\alpha)}{\sin(\alpha) \cdot (-\operatorname{ctg}(\alpha))} $

Сократим дробь на $ \sin(\alpha) $:

$ \frac{\operatorname{tg}(\alpha)}{-\operatorname{ctg}(\alpha)} = -\frac{\operatorname{tg}(\alpha)}{\frac{1}{\operatorname{tg}(\alpha)}} = -\operatorname{tg}^2(\alpha) $

Ответ: $ -\operatorname{tg}^2(\alpha) $