Номер 665, страница 192 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

25. Формулы приведения. IV. Тригонометрия - номер 665, страница 192.

Условие.

665. Приведите к функциям углов, заключенных в промежутке $[0; \frac{\pi}{4}]$,
следующие тригонометрические функции:

a) $\sin 0,8\pi$; $\cos 2,4\pi$; $\text{tg } 3,7\pi$; $\text{ctg } 5,4\pi$;

б) $\sin(-1,2\pi)$; $\cos 3,6\pi$; $\text{tg } 1,9\pi$; $\text{ctg}(-1,7\pi)$.

Решение.

Решение 2 (rus).

а)

Для $\sin 0,8\pi$ применим формулу приведения $\sin(\pi - \alpha) = \sin \alpha$.
$\sin 0,8\pi = \sin(\pi - 0,2\pi) = \sin 0,2\pi$.
Угол $0,2\pi$ принадлежит промежутку $[0; \frac{\pi}{4}]$, так как $0 \le 0,2\pi \le 0,25\pi$.
Ответ: $\sin 0,2\pi$.

Для $\cos 2,4\pi$ сначала используем периодичность функции косинус (период $2\pi$), а затем формулу приведения $\cos \alpha = \sin(\frac{\pi}{2} - \alpha)$.
$\cos 2,4\pi = \cos(2,4\pi - 2\pi) = \cos 0,4\pi$.
$\cos 0,4\pi = \sin(\frac{\pi}{2} - 0,4\pi) = \sin(0,5\pi - 0,4\pi) = \sin 0,1\pi$.
Угол $0,1\pi$ принадлежит промежутку $[0; \frac{\pi}{4}]$, так как $0 \le 0,1\pi \le 0,25\pi$.
Ответ: $\sin 0,1\pi$.

Для $\tg 3,7\pi$ используем периодичность тангенса (период $\pi$) и формулы приведения.
$\tg 3,7\pi = \tg(3,7\pi - 3\pi) = \tg 0,7\pi$.
Применяем формулу $\tg(\pi - \alpha) = -\tg \alpha$:
$\tg 0,7\pi = \tg(\pi - 0,3\pi) = -\tg 0,3\pi$.
Применяем формулу $\tg \alpha = \operatorname{ctg}(\frac{\pi}{2} - \alpha)$:
$-\tg 0,3\pi = -\operatorname{ctg}(\frac{\pi}{2} - 0,3\pi) = -\operatorname{ctg}(0,5\pi - 0,3\pi) = -\operatorname{ctg} 0,2\pi$.
Угол $0,2\pi$ принадлежит промежутку $[0; \frac{\pi}{4}]$.
Ответ: $-\operatorname{ctg} 0,2\pi$.

Для $\operatorname{ctg} 5,4\pi$ используем периодичность котангенса (период $\pi$) и формулу приведения $\operatorname{ctg} \alpha = \tg(\frac{\pi}{2} - \alpha)$.
$\operatorname{ctg} 5,4\pi = \operatorname{ctg}(5,4\pi - 5\pi) = \operatorname{ctg} 0,4\pi$.
$\operatorname{ctg} 0,4\pi = \tg(\frac{\pi}{2} - 0,4\pi) = \tg(0,5\pi - 0,4\pi) = \tg 0,1\pi$.
Угол $0,1\pi$ принадлежит промежутку $[0; \frac{\pi}{4}]$.
Ответ: $\tg 0,1\pi$.

б)

Для $\sin(-1,2\pi)$ используем периодичность синуса (период $2\pi$) и формулу приведения.
$\sin(-1,2\pi) = \sin(-1,2\pi + 2\pi) = \sin 0,8\pi$.
$\sin 0,8\pi = \sin(\pi - 0,2\pi) = \sin 0,2\pi$.
Угол $0,2\pi$ принадлежит промежутку $[0; \frac{\pi}{4}]$.
Ответ: $\sin 0,2\pi$.

Для $\cos 3,6\pi$ используем периодичность косинуса (период $2\pi$), его четность и формулу приведения.
$\cos 3,6\pi = \cos(3,6\pi - 4\pi) = \cos(-0,4\pi) = \cos 0,4\pi$.
$\cos 0,4\pi = \sin(\frac{\pi}{2} - 0,4\pi) = \sin(0,5\pi - 0,4\pi) = \sin 0,1\pi$.
Угол $0,1\pi$ принадлежит промежутку $[0; \frac{\pi}{4}]$.
Ответ: $\sin 0,1\pi$.

Для $\tg 1,9\pi$ используем периодичность тангенса (период $\pi$) и его нечетность.
$\tg 1,9\pi = \tg(1,9\pi - 2\pi) = \tg(-0,1\pi) = -\tg 0,1\pi$.
Угол $0,1\pi$ принадлежит промежутку $[0; \frac{\pi}{4}]$.
Ответ: $-\tg 0,1\pi$.

Для $\operatorname{ctg}(-1,7\pi)$ используем периодичность котангенса (период $\pi$) и формулу приведения.
$\operatorname{ctg}(-1,7\pi) = \operatorname{ctg}(-1,7\pi + 2\pi) = \operatorname{ctg} 0,3\pi$.
$\operatorname{ctg} 0,3\pi = \tg(\frac{\pi}{2} - 0,3\pi) = \tg(0,5\pi - 0,3\pi) = \tg 0,2\pi$.
Угол $0,2\pi$ принадлежит промежутку $[0; \frac{\pi}{4}]$.
Ответ: $\tg 0,2\pi$.