Номер 672, страница 194 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

25. Формулы приведения. IV. Тригонометрия - номер 672, страница 194.

Условие.

672. В угол, равный $\alpha$, вписана окружность радиуса 2 см. Найдите расстояние между точками касания окружности со сторонами угла.

Решение.

Решение 2 (rus).

672. Пусть вершина угла, равного $\alpha$, находится в точке $A$, а стороны угла касаются окружности в точках $B$ и $C$. Пусть $O$ — центр вписанной окружности, а её радиус $r=2$ см. Требуется найти расстояние между точками $B$ и $C$, то есть длину отрезка $BC$.

По свойству касательной, радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Следовательно, $OB \perp AB$ и $OC \perp AC$. Это означает, что $\angle OBA = 90^\circ$ и $\angle OCA = 90^\circ$.

Рассмотрим четырехугольник $ABOC$. Сумма его внутренних углов равна $360^\circ$. Зная, что $\angle BAC = \alpha$, $\angle OBA = 90^\circ$ и $\angle OCA = 90^\circ$, можем найти угол $\angle BOC$:

$\angle BOC = 360^\circ - \angle BAC - \angle OBA - \angle OCA = 360^\circ - \alpha - 90^\circ - 90^\circ = 180^\circ - \alpha$.

Теперь рассмотрим треугольник $BOC$. Он является равнобедренным, так как его стороны $OB$ и $OC$ — это радиусы окружности, и $OB = OC = r = 2$ см. Угол между этими равными сторонами равен $\angle BOC = 180^\circ - \alpha$.

Чтобы найти длину основания $BC$, проведем в треугольнике $BOC$ высоту $OH$ из вершины $O$ к основанию $BC$. В равнобедренном треугольнике высота к основанию является также медианой и биссектрисой. Следовательно, $H$ — середина $BC$ ($BC = 2 \cdot BH$), и $OH$ делит угол $\angle BOC$ пополам.

$\angle BOH = \frac{\angle BOC}{2} = \frac{180^\circ - \alpha}{2} = 90^\circ - \frac{\alpha}{2}$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $OBH$ (с прямым углом в $H$). Катет $BH$ можно найти через гипотенузу $OB$ и угол $\angle BOH$:

$BH = OB \cdot \sin(\angle BOH) = 2 \cdot \sin(90^\circ - \frac{\alpha}{2})$.

Используя формулу приведения $\sin(90^\circ - x) = \cos(x)$, получаем:

$BH = 2\cos(\frac{\alpha}{2})$.

Так как $BC = 2 \cdot BH$, искомое расстояние равно:

$BC = 2 \cdot 2\cos(\frac{\alpha}{2}) = 4\cos(\frac{\alpha}{2})$.

Ответ: $4\cos(\frac{\alpha}{2})$ см.