Номер 675, страница 194 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

25. Формулы приведения. IV. Тригонометрия - номер 675, страница 194.

Условие.

675. Найдите значение выражения:

a) $\frac{\text{tg} \frac{5\pi}{3} \cdot \text{cos} \frac{17\pi}{6} + \text{tg}(-9,25\pi)}{\text{sin}^2 4,75\pi \cdot \text{cos} 9\pi}$;

б) $\frac{\text{sin}^2 \frac{19\pi}{7} + \text{sin}^2 \frac{59\pi}{14}}{\text{cos} \frac{29\pi}{6} + \text{sin} 33\pi}$;

в) $\frac{\text{tg}^2 \frac{23\pi}{6} + \text{sin}^2 11,5\pi}{\text{cos}^2 \frac{37\pi}{6}} + \text{tg} 12,25\pi$;

г) $\frac{\text{sin} \frac{11\pi}{18} \cdot \text{sin} \frac{25\pi}{18} - \text{cos} \frac{29\pi}{18} \cdot \text{cos} \frac{43\pi}{18}}{\text{cos} 29\pi}$.

Решение.

Решение 2 (rus).

а)

Для нахождения значения выражения необходимо вычислить значение каждого тригонометрического выражения по отдельности, используя формулы приведения и свойства периодичности функций.

1. $ \text{tg} \frac{5\pi}{3} = \text{tg}(2\pi - \frac{\pi}{3}) = \text{tg}(-\frac{\pi}{3}) = -\text{tg}(\frac{\pi}{3}) = -\sqrt{3} $

2. $ \text{cos} \frac{17\pi}{6} = \text{cos}(3\pi - \frac{\pi}{6}) = \text{cos}(\pi - \frac{\pi}{6}) = -\text{cos}(\frac{\pi}{6}) = -\frac{\sqrt{3}}{2} $

3. $ \text{tg}(-9,25\pi) = -\text{tg}(9,25\pi) = -\text{tg}(8\pi + 1,25\pi) = -\text{tg}(1,25\pi) = -\text{tg}(\frac{5\pi}{4}) = -\text{tg}(\pi + \frac{\pi}{4}) = -\text{tg}(\frac{\pi}{4}) = -1 $

4. $ \text{sin}^2(4,75\pi) = \text{sin}^2(\frac{19\pi}{4}) = \text{sin}^2(4\pi + \frac{3\pi}{4}) = \text{sin}^2(\frac{3\pi}{4}) = (\frac{\sqrt{2}}{2})^2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} $

5. $ \text{cos}(9\pi) = \text{cos}(8\pi + \pi) = \text{cos}(\pi) = -1 $

Теперь подставим найденные значения в исходное выражение:

$ \frac{\text{tg}\frac{5\pi}{3} \cdot \text{cos}\frac{17\pi}{6} + \text{tg}(-9,25\pi)}{\text{sin}^2(4,75\pi) \cdot \text{cos}(9\pi)} = \frac{(-\sqrt{3}) \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) + (-1)}{\frac{1}{2} \cdot (-1)} = \frac{\frac{3}{2} - 1}{-\frac{1}{2}} = \frac{\frac{1}{2}}{-\frac{1}{2}} = -1 $

Ответ: -1

б)

Упростим числитель и знаменатель дроби.

Сначала упростим числитель: $ \text{sin}^2\frac{19\pi}{7} + \text{sin}^2\frac{59\pi}{14} $.

Используем формулы приведения:

$ \text{sin}^2\frac{19\pi}{7} = \text{sin}^2(2\pi + \frac{5\pi}{7}) = \text{sin}^2\frac{5\pi}{7} $

$ \text{sin}^2\frac{59\pi}{14} = \text{sin}^2(4\pi + \frac{3\pi}{14}) = \text{sin}^2\frac{3\pi}{14} $

Представим угол $ \frac{5\pi}{7} $ как $ \frac{\pi}{2} + \frac{3\pi}{14} $. Тогда $ \text{sin}\frac{5\pi}{7} = \text{sin}(\frac{\pi}{2} + \frac{3\pi}{14}) = \text{cos}\frac{3\pi}{14} $.

Числитель принимает вид: $ \text{cos}^2\frac{3\pi}{14} + \text{sin}^2\frac{3\pi}{14} = 1 $ (согласно основному тригонометрическому тождеству).

Теперь упростим знаменатель: $ \text{cos}\frac{29\pi}{6} + \text{sin}(33\pi) $.

$ \text{cos}\frac{29\pi}{6} = \text{cos}(4\pi + \frac{5\pi}{6}) = \text{cos}\frac{5\pi}{6} = \text{cos}(\pi - \frac{\pi}{6}) = -\text{cos}\frac{\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2} $

$ \text{sin}(33\pi) = \text{sin}(32\pi + \pi) = \text{sin}(\pi) = 0 $

Знаменатель равен $ -\frac{\sqrt{3}}{2} + 0 = -\frac{\sqrt{3}}{2} $.

Итоговое значение выражения: $ \frac{1}{-\frac{\sqrt{3}}{2}} = -\frac{2}{\sqrt{3}} = -\frac{2\sqrt{3}}{3} $.

Ответ: $ -\frac{2\sqrt{3}}{3} $

в)

Вычислим значение каждого слагаемого по отдельности.

Первое слагаемое (дробь): $ \frac{\text{tg}^2\frac{23\pi}{6} + \text{sin}^2(11,5\pi)}{\text{cos}^2\frac{37\pi}{6}} $.

Вычисляем числитель дроби:

$ \text{tg}^2\frac{23\pi}{6} = \text{tg}^2(4\pi - \frac{\pi}{6}) = \text{tg}^2(-\frac{\pi}{6}) = (-\text{tg}\frac{\pi}{6})^2 = (-\frac{1}{\sqrt{3}})^2 = \frac{1}{3} $

$ \text{sin}^2(11,5\pi) = \text{sin}^2(\frac{23\pi}{2}) = \text{sin}^2(11\pi + \frac{\pi}{2}) = (-\text{sin}\frac{\pi}{2})^2 = (-1)^2 = 1 $

Значение числителя: $ \frac{1}{3} + 1 = \frac{4}{3} $.

Вычисляем знаменатель дроби:

$ \text{cos}^2\frac{37\pi}{6} = \text{cos}^2(6\pi + \frac{\pi}{6}) = \text{cos}^2(\frac{\pi}{6}) = (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = \frac{3}{4} $

Значение дроби: $ \frac{4/3}{3/4} = \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{3} = \frac{16}{9} $.

Второе слагаемое: $ \text{tg}(12,25\pi) $.

$ \text{tg}(12,25\pi) = \text{tg}(12\pi + 0,25\pi) = \text{tg}(0,25\pi) = \text{tg}(\frac{\pi}{4}) = 1 $.

Итоговое значение всего выражения: $ \frac{16}{9} + 1 = \frac{16+9}{9} = \frac{25}{9} $.

Ответ: $ \frac{25}{9} $

г)

Упростим числитель и знаменатель дроби $ \frac{\text{sin}\frac{11\pi}{18} \cdot \text{sin}\frac{25\pi}{18} - \text{cos}\frac{29\pi}{18} \cdot \text{cos}\frac{43\pi}{18}}{\text{cos}(29\pi)} $.

Знаменатель: $ \text{cos}(29\pi) = \text{cos}(28\pi + \pi) = \text{cos}(\pi) = -1 $.

Числитель: $ \text{sin}\frac{11\pi}{18} \cdot \text{sin}\frac{25\pi}{18} - \text{cos}\frac{29\pi}{18} \cdot \text{cos}\frac{43\pi}{18} $.

Применим формулы приведения к аргументам тригонометрических функций в числителе:

$ \text{sin}\frac{25\pi}{18} = \text{sin}(\pi + \frac{7\pi}{18}) = -\text{sin}\frac{7\pi}{18} $

$ \text{cos}\frac{29\pi}{18} = \text{cos}(\pi + \frac{11\pi}{18}) = -\text{cos}\frac{11\pi}{18} $

$ \text{cos}\frac{43\pi}{18} = \text{cos}(2\pi + \frac{7\pi}{18}) = \text{cos}\frac{7\pi}{18} $

Подставим упрощенные выражения в числитель:

$ \text{sin}\frac{11\pi}{18} \cdot (-\text{sin}\frac{7\pi}{18}) - (-\text{cos}\frac{11\pi}{18}) \cdot \text{cos}\frac{7\pi}{18} = -\text{sin}\frac{11\pi}{18}\text{sin}\frac{7\pi}{18} + \text{cos}\frac{11\pi}{18}\text{cos}\frac{7\pi}{18} $.

Полученное выражение соответствует формуле косинуса суммы: $ \text{cos}(\alpha + \beta) = \text{cos}\alpha\text{cos}\beta - \text{sin}\alpha\text{sin}\beta $. В нашем случае $ \alpha = \frac{11\pi}{18} $ и $ \beta = \frac{7\pi}{18} $.

Значение числителя: $ \text{cos}(\frac{11\pi}{18} + \frac{7\pi}{18}) = \text{cos}(\frac{18\pi}{18}) = \text{cos}(\pi) = -1 $.

Итоговое значение дроби: $ \frac{-1}{-1} = 1 $.

Ответ: 1