Номер 674, страница 194 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

25. Формулы приведения. IV. Тригонометрия - номер 674, страница 194.

Условие.

674. Упростите выражение:

а) $ \frac{\text{tg}(5\pi - x) + \text{tg}(10\pi - x) - \text{tg}(21\pi + x)}{\text{sin } 6,5\pi - \text{cos } 15\pi + \text{cos } 20\pi} $

б) $ \frac{\text{cos}(5\pi - x) + \text{sin}(11\pi + x)}{\text{tg}(\pi - x) \cdot \text{tg}(0,5\pi + x) + \text{tg}(20\pi + x)} $

в) $ \frac{\text{tg}^2(9\pi - x) \cdot \text{sin}^2(x - 4,5\pi)}{\text{sin}(19\pi - x) \cdot \text{sin}(-x - 15\pi)} $

г) $ \frac{\text{cos}^2(5,5\pi - x)}{\text{tg}^2(x - 10\pi)} + \frac{\text{cos}^2(-x)}{\text{tg}^2(x - 7,5\pi)} $

Решение.

Решение 2 (rus).

а)

Для упрощения выражения воспользуемся формулами приведения и свойством периодичности тригонометрических функций. Сначала упростим числитель и знаменатель по отдельности.

Упростим числитель:

Используя периодичность тангенса ($T = \pi$) и формулы приведения:

$ \text{tg}(5\pi - x) = \text{tg}(\pi - x) = -\text{tg}(x) $

$ \text{tg}(10\pi - x) = \text{tg}(-x) = -\text{tg}(x) $

$ \text{tg}(21\pi + x) = \text{tg}(\pi + x) = \text{tg}(x) $

Тогда числитель равен: $ -\text{tg}(x) + (-\text{tg}(x)) - \text{tg}(x) = -3\text{tg}(x) $.

Упростим знаменатель, вычислив значения тригонометрических функций:

$ \sin(6,5\pi) = \sin(6\pi + \frac{\pi}{2}) = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1 $

$ \cos(15\pi) = \cos(14\pi + \pi) = \cos(\pi) = -1 $

$ \cos(20\pi) = \cos(0) = 1 $

Тогда знаменатель равен: $ 1 - (-1) + 1 = 3 $.

Подставим упрощенные части в исходное выражение:

$ \frac{-3\text{tg}(x)}{3} = -\text{tg}(x) $

Ответ: $-\text{tg}(x)$

б)

Упростим числитель и знаменатель дроби, используя формулы приведения и периодичность.

Числитель:

$ \cos(5\pi - x) = \cos(4\pi + \pi - x) = \cos(\pi - x) = -\cos(x) $

$ \sin(11\pi + x) = \sin(10\pi + \pi + x) = \sin(\pi + x) = -\sin(x) $

Следовательно, числитель равен $ -\cos(x) - \sin(x) = -(\cos(x) + \sin(x)) $.

Знаменатель:

$ \text{tg}(\pi - x) = -\text{tg}(x) $

$ \text{tg}(0,5\pi + x) = \text{tg}(\frac{\pi}{2} + x) = -\text{ctg}(x) $

$ \text{tg}(20\pi + x) = \text{tg}(x) $

Произведение в знаменателе: $ \text{tg}(\pi - x) \cdot \text{tg}(0,5\pi + x) = (-\text{tg}(x)) \cdot (-\text{ctg}(x)) = \text{tg}(x)\text{ctg}(x) = 1 $.

Следовательно, знаменатель равен $ 1 + \text{tg}(x) $.

Соберем дробь и упростим, выразив тангенс через синус и косинус:

$ \frac{-(\cos(x) + \sin(x))}{1 + \text{tg}(x)} = \frac{-(\cos(x) + \sin(x))}{1 + \frac{\sin(x)}{\cos(x)}} = \frac{-(\cos(x) + \sin(x))}{\frac{\cos(x) + \sin(x)}{\cos(x)}} = -(\cos(x) + \sin(x)) \cdot \frac{\cos(x)}{\cos(x) + \sin(x)} = -\cos(x) $

Ответ: $-\cos(x)$

в)

Упростим числитель и знаменатель по отдельности.

Упростим числитель:

$ \text{tg}^2(9\pi - x) = (\text{tg}(9\pi - x))^2 = (\text{tg}(\pi - x))^2 = (-\text{tg}(x))^2 = \text{tg}^2(x) $.

$ \sin^2(x - 4,5\pi) = \sin^2(x - \frac{9\pi}{2}) = \sin^2(-(\frac{9\pi}{2} - x)) = \sin^2(\frac{9\pi}{2} - x) = \sin^2(4\pi + \frac{\pi}{2} - x) = \sin^2(\frac{\pi}{2} - x) = \cos^2(x) $.

Числитель равен: $ \text{tg}^2(x) \cdot \cos^2(x) = \frac{\sin^2(x)}{\cos^2(x)} \cdot \cos^2(x) = \sin^2(x) $.

Упростим знаменатель:

$ \sin(19\pi - x) = \sin(18\pi + \pi - x) = \sin(\pi - x) = \sin(x) $.

$ \sin(-x - 15\pi) = -\sin(x + 15\pi) = -\sin(x + 14\pi + \pi) = -\sin(x + \pi) = -(-\sin(x)) = \sin(x) $.

Знаменатель равен: $ \sin(x) \cdot \sin(x) = \sin^2(x) $.

Таким образом, выражение равно:

$ \frac{\sin^2(x)}{\sin^2(x)} = 1 $

Ответ: $1$

г)

Упростим каждое слагаемое отдельно.

Первое слагаемое: $ \frac{\cos^2(5,5\pi - x)}{\text{tg}^2(x - 10\pi)} $.

Числитель: $ \cos^2(5,5\pi - x) = \cos^2(\frac{11\pi}{2} - x) $. По формуле приведения $ \cos(\frac{11\pi}{2} - x) = \cos(4\pi + \frac{3\pi}{2} - x) = \cos(\frac{3\pi}{2} - x) = -\sin(x) $. Тогда числитель равен $ (-\sin(x))^2 = \sin^2(x) $.

Знаменатель: $ \text{tg}^2(x - 10\pi) = \text{tg}^2(x) $ из-за периодичности тангенса ($T=\pi$).

Первое слагаемое равно: $ \frac{\sin^2(x)}{\text{tg}^2(x)} = \frac{\sin^2(x)}{\frac{\sin^2(x)}{\cos^2(x)}} = \cos^2(x) $.

Второе слагаемое: $ \frac{\cos^2(-x)}{\text{tg}^2(x - 7,5\pi)} $.

Числитель: $ \cos^2(-x) = \cos^2(x) $, так как косинус - четная функция.

Знаменатель: $ \text{tg}^2(x - 7,5\pi) = \text{tg}^2(x - \frac{15\pi}{2}) $. Используя периодичность, $ \text{tg}(x - \frac{15\pi}{2}) = \text{tg}(x - \frac{15\pi}{2} + 8\pi) = \text{tg}(x + \frac{\pi}{2}) = -\text{ctg}(x) $. Тогда знаменатель равен $ (-\text{ctg}(x))^2 = \text{ctg}^2(x) $.

Второе слагаемое равно: $ \frac{\cos^2(x)}{\text{ctg}^2(x)} = \frac{\cos^2(x)}{\frac{\cos^2(x)}{\sin^2(x)}} = \sin^2(x) $.

Суммируем оба слагаемых, используя основное тригонометрическое тождество:

$ \cos^2(x) + \sin^2(x) = 1 $.

Ответ: $1$