Номер 677, страница 195 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

25. Формулы приведения. IV. Тригонометрия - номер 677, страница 195.

Условие.

677. Докажите тождество $ctg 0,4\pi - \frac{\cos 1,1\pi}{1 - \cos 0,6\pi} = \frac{1}{\cos 0,1\pi}$

678. Найдите значение выражения:

Решение.

Решение 2 (rus).

Для доказательства тождества преобразуем его левую часть. Обозначим её Л.ч.:

Л.ч. = $ctg 0,4\pi - \frac{\cos 1,1\pi}{1 - \cos 0,6\pi}$

Воспользуемся формулами приведения, чтобы выразить все тригонометрические функции через функции от угла $0,1\pi$.

1. Преобразуем котангенс: $ctg 0,4\pi = ctg(0,5\pi - 0,1\pi) = ctg(\frac{\pi}{2} - 0,1\pi) = tg 0,1\pi$.

2. Преобразуем косинус в числителе дроби: $\cos 1,1\pi = \cos(\pi + 0,1\pi) = -\cos 0,1\pi$.

3. Преобразуем косинус в знаменателе дроби: $\cos 0,6\pi = \cos(0,5\pi + 0,1\pi) = \cos(\frac{\pi}{2} + 0,1\pi) = -\sin 0,1\pi$.

Теперь подставим полученные выражения в левую часть исходного равенства:

Л.ч. = $tg 0,1\pi - \frac{-\cos 0,1\pi}{1 - (-\sin 0,1\pi)} = tg 0,1\pi + \frac{\cos 0,1\pi}{1 + \sin 0,1\pi}$

Представим тангенс как отношение синуса к косинусу и приведем дроби к общему знаменателю:

Л.ч. = $\frac{\sin 0,1\pi}{\cos 0,1\pi} + \frac{\cos 0,1\pi}{1 + \sin 0,1\pi} = \frac{\sin 0,1\pi (1 + \sin 0,1\pi) + \cos 0,1\pi \cdot \cos 0,1\pi}{\cos 0,1\pi (1 + \sin 0,1\pi)}$

Раскроем скобки в числителе:

Л.ч. = $\frac{\sin 0,1\pi + \sin^2 0,1\pi + \cos^2 0,1\pi}{\cos 0,1\pi (1 + \sin 0,1\pi)}$

Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$, упростим числитель:

Л.ч. = $\frac{\sin 0,1\pi + 1}{\cos 0,1\pi (1 + \sin 0,1\pi)}$

Сократим дробь на общий множитель $(1 + \sin 0,1\pi)$, который не равен нулю:

Л.ч. = $\frac{1}{\cos 0,1\pi}$

В результате преобразований мы получили выражение, равное правой части исходного тождества. Таким образом, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.