Номер 682, страница 198 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

26. Формулы косинуса, синуса, тангенса и котангенса суммы и разности двух углов. IV. Тригонометрия - номер 682, страница 198.

Условие.

682. Преобразуйте выражение с помощью формул суммы и разности двух углов:

a) $\sin(30^\circ + \alpha)$;

б) $\sin(60^\circ - \alpha)$;

в) $\cos(\alpha + 45^\circ)$;

г) $\cos(\alpha - 60^\circ)$;

д) $\operatorname{tg}(45^\circ + \alpha)$;

е) $\operatorname{tg}(60^\circ - \alpha)$.

Решение.

Решение 2 (rus).

а)

Для преобразования выражения $sin(30° + α)$ воспользуемся формулой синуса суммы двух углов: $sin(x+y) = sin(x)cos(y) + cos(x)sin(y)$.

В данном выражении $x = 30°$ и $y = α$. Применим формулу:

$sin(30° + α) = sin(30°)cos(α) + cos(30°)sin(α)$

Подставим табличные значения тригонометрических функций $sin(30°) = \frac{1}{2}$ и $cos(30°) = \frac{\sqrt{3}}{2}$:

$sin(30° + α) = \frac{1}{2} \cdot cos(α) + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot sin(α) = \frac{cos(α) + \sqrt{3}sin(α)}{2}$

Ответ: $\frac{cos(α) + \sqrt{3}sin(α)}{2}$.

б)

Для преобразования выражения $sin(60° - α)$ воспользуемся формулой синуса разности двух углов: $sin(x-y) = sin(x)cos(y) - cos(x)sin(y)$.

Здесь $x = 60°$ и $y = α$. Применим формулу:

$sin(60° - α) = sin(60°)cos(α) - cos(60°)sin(α)$

Подставим табличные значения $sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $cos(60°) = \frac{1}{2}$:

$sin(60° - α) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot cos(α) - \frac{1}{2} \cdot sin(α) = \frac{\sqrt{3}cos(α) - sin(α)}{2}$

Ответ: $\frac{\sqrt{3}cos(α) - sin(α)}{2}$.

в)

Для преобразования выражения $cos(α + 45°)$ воспользуемся формулой косинуса суммы двух углов: $cos(x+y) = cos(x)cos(y) - sin(x)sin(y)$.

Здесь $x = α$ и $y = 45°$. Применим формулу:

$cos(α + 45°) = cos(α)cos(45°) - sin(α)sin(45°)$

Подставим табличные значения $cos(45°) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $sin(45°) = \frac{\sqrt{2}}{2}$:

$cos(α + 45°) = cos(α) \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - sin(α) \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}(cos(α) - sin(α))$

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}(cos(α) - sin(α))$.

г)

Для преобразования выражения $cos(α - 60°)$ воспользуемся формулой косинуса разности двух углов: $cos(x-y) = cos(x)cos(y) + sin(x)sin(y)$.

Здесь $x = α$ и $y = 60°$. Применим формулу:

$cos(α - 60°) = cos(α)cos(60°) + sin(α)sin(60°)$

Подставим табличные значения $cos(60°) = \frac{1}{2}$ и $sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2}$:

$cos(α - 60°) = cos(α) \cdot \frac{1}{2} + sin(α) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{cos(α) + \sqrt{3}sin(α)}{2}$

Ответ: $\frac{cos(α) + \sqrt{3}sin(α)}{2}$.

д)

Для преобразования выражения $tg(45° + α)$ воспользуемся формулой тангенса суммы двух углов: $tg(x+y) = \frac{tg(x) + tg(y)}{1 - tg(x)tg(y)}$.

Здесь $x = 45°$ и $y = α$. Применим формулу:

$tg(45° + α) = \frac{tg(45°) + tg(α)}{1 - tg(45°)tg(α)}$

Подставим табличное значение $tg(45°) = 1$:

$tg(45° + α) = \frac{1 + tg(α)}{1 - 1 \cdot tg(α)} = \frac{1 + tg(α)}{1 - tg(α)}$

Ответ: $\frac{1 + tg(α)}{1 - tg(α)}$.

е)

Для преобразования выражения $tg(60° - α)$ воспользуемся формулой тангенса разности двух углов: $tg(x-y) = \frac{tg(x) - tg(y)}{1 + tg(x)tg(y)}$.

Здесь $x = 60°$ и $y = α$. Применим формулу:

$tg(60° - α) = \frac{tg(60°) - tg(α)}{1 + tg(60°)tg(α)}$

Подставим табличное значение $tg(60°) = \sqrt{3}$:

$tg(60° - α) = \frac{\sqrt{3} - tg(α)}{1 + \sqrt{3}tg(α)}$

Ответ: $\frac{\sqrt{3} - tg(α)}{1 + \sqrt{3}tg(α)}$.