Номер 686, страница 199 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

26. Формулы косинуса, синуса, тангенса и котангенса суммы и разности двух углов. IV. Тригонометрия - номер 686, страница 199.

Условие.

686. Дано: $\cos \alpha = \frac{1}{3}$ и $\alpha \in (0; \frac{\pi}{2})$. Найдите: $\sin(\alpha - \frac{\pi}{6}) - \cos(\alpha + \frac{2\pi}{3})$.

Решение.

Решение 2 (rus).

Для решения задачи нам нужно найти значение выражения $\sin(\alpha - \frac{\pi}{6}) - \cos(\alpha + \frac{2\pi}{3})$. Сначала мы упростим это выражение, используя тригонометрические формулы, а затем найдем значение $\sin \alpha$ из данных условия.

1. Упрощение выражения
Воспользуемся формулами синуса разности и косинуса суммы:
$\sin(A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$
$\cos(A + B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$
Применим эти формулы к нашему выражению, подставив известные значения $\cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$, $\cos \frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2}$ и $\sin \frac{2\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
$\sin(\alpha - \frac{\pi}{6}) = \sin \alpha \cdot \cos \frac{\pi}{6} - \cos \alpha \cdot \sin \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}\sin \alpha - \frac{1}{2}\cos \alpha$
$\cos(\alpha + \frac{2\pi}{3}) = \cos \alpha \cdot \cos \frac{2\pi}{3} - \sin \alpha \cdot \sin \frac{2\pi}{3} = \cos \alpha \cdot (-\frac{1}{2}) - \sin \alpha \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = -\frac{1}{2}\cos \alpha - \frac{\sqrt{3}}{2}\sin \alpha$
Теперь подставим полученные выражения обратно в исходное:
$\sin(\alpha - \frac{\pi}{6}) - \cos(\alpha + \frac{2\pi}{3}) = (\frac{\sqrt{3}}{2}\sin \alpha - \frac{1}{2}\cos \alpha) - (-\frac{1}{2}\cos \alpha - \frac{\sqrt{3}}{2}\sin \alpha)$
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$= \frac{\sqrt{3}}{2}\sin \alpha - \frac{1}{2}\cos \alpha + \frac{1}{2}\cos \alpha + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin \alpha = 2 \cdot (\frac{\sqrt{3}}{2}\sin \alpha) = \sqrt{3}\sin \alpha$

2. Нахождение $\sin \alpha$
По условию дано, что $\cos \alpha = \frac{1}{3}$ и $\alpha \in (0; \frac{\pi}{2})$. Это означает, что угол $\alpha$ находится в первой координатной четверти, где значения синуса положительны ($\sin \alpha > 0$).
Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$:
$\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha = 1 - (\frac{1}{3})^2 = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$
Так как $\sin \alpha > 0$, извлекаем положительный корень:
$\sin \alpha = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{\sqrt{8}}{\sqrt{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$

3. Вычисление итогового значения
Подставим найденное значение $\sin \alpha$ в упрощенное выражение $\sqrt{3}\sin \alpha$:
$\sqrt{3} \cdot \frac{2\sqrt{2}}{3} = \frac{2\sqrt{3}\sqrt{2}}{3} = \frac{2\sqrt{6}}{3}$

Ответ: $\frac{2\sqrt{6}}{3}$