Номер 687, страница 199 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

26. Формулы косинуса, синуса, тангенса и котангенса суммы и разности двух углов. IV. Тригонометрия - номер 687, страница 199.

Условие.

687. Дано: $\text{tg } \alpha = -\frac{2}{3}$, а $\text{tg } \beta = \frac{1}{2}$. Найдите:
а) $\text{tg}(\alpha + \beta)$;
б) $\text{tg}(\beta - \alpha)$.

Решение.

Решение 2 (rus).

а) Для нахождения тангенса суммы двух углов воспользуемся формулой тангенса суммы:

$\text{tg}(\alpha + \beta) = \frac{\text{tg}\alpha + \text{tg}\beta}{1 - \text{tg}\alpha \cdot \text{tg}\beta}$

Подставим в формулу заданные значения $\text{tg}\alpha = -\frac{2}{3}$ и $\text{tg}\beta = \frac{1}{2}$:

$\text{tg}(\alpha + \beta) = \frac{-\frac{2}{3} + \frac{1}{2}}{1 - (-\frac{2}{3}) \cdot \frac{1}{2}} = \frac{-\frac{4}{6} + \frac{3}{6}}{1 - (-\frac{2}{6})} = \frac{-\frac{1}{6}}{1 + \frac{1}{3}} = \frac{-\frac{1}{6}}{\frac{3}{3} + \frac{1}{3}} = \frac{-\frac{1}{6}}{\frac{4}{3}}$

Выполним деление дробей:

$-\frac{1}{6} \div \frac{4}{3} = -\frac{1}{6} \cdot \frac{3}{4} = -\frac{3}{24} = -\frac{1}{8}$

Ответ: $-\frac{1}{8}$

б) Для нахождения тангенса разности двух углов воспользуемся формулой тангенса разности:

$\text{tg}(\beta - \alpha) = \frac{\text{tg}\beta - \text{tg}\alpha}{1 + \text{tg}\beta \cdot \text{tg}\alpha}$

Подставим в формулу заданные значения $\text{tg}\alpha = -\frac{2}{3}$ и $\text{tg}\beta = \frac{1}{2}$:

$\text{tg}(\beta - \alpha) = \frac{\frac{1}{2} - (-\frac{2}{3})}{1 + \frac{1}{2} \cdot (-\frac{2}{3})} = \frac{\frac{1}{2} + \frac{2}{3}}{1 - \frac{2}{6}} = \frac{\frac{3}{6} + \frac{4}{6}}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{\frac{7}{6}}{\frac{2}{3}}$

Выполним деление дробей:

$\frac{7}{6} \div \frac{2}{3} = \frac{7}{6} \cdot \frac{3}{2} = \frac{21}{12} = \frac{7}{4}$

Ответ: $\frac{7}{4}$