Номер 694, страница 200 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

26. Формулы косинуса, синуса, тангенса и котангенса суммы и разности двух углов. IV. Тригонометрия - номер 694, страница 200.

Условие.

694. Упростите выражение:

а) $\frac{\sin(45^\circ + \alpha) - \cos(45^\circ + \alpha)}{\sin(45^\circ + \alpha) + \cos(45^\circ + \alpha)}$;

В) $\frac{\text{tg } \alpha + \text{tg } \beta}{\text{tg}(\alpha + \beta)} + \frac{\text{tg } \alpha - \text{tg } \beta}{\text{tg}(\alpha - \beta)}$;

Б) $\frac{\sqrt{2} \cos \alpha - 2\cos(45^\circ - \alpha)}{2\sin(30^\circ + \alpha) - \sqrt{3} \sin \alpha}$;

Г) $\frac{\cos(\alpha + \beta) + \sin(\pi - \alpha) \cdot \cos(\frac{3\pi}{2} + \beta)}{\cos(\alpha - \beta) + \cos(\frac{3\pi}{2} - \alpha) \cdot \cos(\frac{\pi}{2} - \beta)}$.

Решение.

Решение 2 (rus).

а)Исходное выражение: $\frac{\sin(45^\circ + \alpha) - \cos(45^\circ + \alpha)}{\sin(45^\circ + \alpha) + \cos(45^\circ + \alpha)}$.
Используем формулы синуса и косинуса суммы: $\sin(x+y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y$ и $\cos(x+y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y$.
А также значения $\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Раскроем синус и косинус в числителе и знаменателе:
Числитель: $\sin(45^\circ + \alpha) - \cos(45^\circ + \alpha) = (\sin 45^\circ \cos \alpha + \cos 45^\circ \sin \alpha) - (\cos 45^\circ \cos \alpha - \sin 45^\circ \sin \alpha) = (\frac{\sqrt{2}}{2}\cos\alpha + \frac{\sqrt{2}}{2}\sin\alpha) - (\frac{\sqrt{2}}{2}\cos\alpha - \frac{\sqrt{2}}{2}\sin\alpha) = \frac{\sqrt{2}}{2}\cos\alpha + \frac{\sqrt{2}}{2}\sin\alpha - \frac{\sqrt{2}}{2}\cos\alpha + \frac{\sqrt{2}}{2}\sin\alpha = \sqrt{2}\sin\alpha$.
Знаменатель: $\sin(45^\circ + \alpha) + \cos(45^\circ + \alpha) = (\sin 45^\circ \cos \alpha + \cos 45^\circ \sin \alpha) + (\cos 45^\circ \cos \alpha - \sin 45^\circ \sin \alpha) = (\frac{\sqrt{2}}{2}\cos\alpha + \frac{\sqrt{2}}{2}\sin\alpha) + (\frac{\sqrt{2}}{2}\cos\alpha - \frac{\sqrt{2}}{2}\sin\alpha) = \frac{\sqrt{2}}{2}\cos\alpha + \frac{\sqrt{2}}{2}\sin\alpha + \frac{\sqrt{2}}{2}\cos\alpha - \frac{\sqrt{2}}{2}\sin\alpha = \sqrt{2}\cos\alpha$.
Подставим упрощенные числитель и знаменатель обратно в дробь: $\frac{\sqrt{2}\sin\alpha}{\sqrt{2}\cos\alpha} = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \tan\alpha$.
Ответ: $\tan\alpha$.

б)Исходное выражение: $\frac{\sqrt{2}\cos\alpha - 2\cos(45^\circ - \alpha)}{2\sin(30^\circ + \alpha) - \sqrt{3}\sin\alpha}$.
Упростим числитель, используя формулу косинуса разности $\cos(x-y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y$ и значения $\sin(45^\circ) = \cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$:
$\sqrt{2}\cos\alpha - 2\cos(45^\circ - \alpha) = \sqrt{2}\cos\alpha - 2(\cos 45^\circ \cos \alpha + \sin 45^\circ \sin \alpha) = \sqrt{2}\cos\alpha - 2(\frac{\sqrt{2}}{2}\cos\alpha + \frac{\sqrt{2}}{2}\sin\alpha) = \sqrt{2}\cos\alpha - \sqrt{2}\cos\alpha - \sqrt{2}\sin\alpha = -\sqrt{2}\sin\alpha$.
Упростим знаменатель, используя формулу синуса суммы $\sin(x+y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y$ и значения $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$, $\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$:
$2\sin(30^\circ + \alpha) - \sqrt{3}\sin\alpha = 2(\sin 30^\circ \cos \alpha + \cos 30^\circ \sin \alpha) - \sqrt{3}\sin\alpha = 2(\frac{1}{2}\cos\alpha + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha) - \sqrt{3}\sin\alpha = \cos\alpha + \sqrt{3}\sin\alpha - \sqrt{3}\sin\alpha = \cos\alpha$.
Теперь разделим упрощенный числитель на упрощенный знаменатель: $\frac{-\sqrt{2}\sin\alpha}{\cos\alpha} = -\sqrt{2}\tan\alpha$.
Ответ: $-\sqrt{2}\tan\alpha$.

в)Исходное выражение: $\frac{\tan\alpha + \tan\beta}{\tan(\alpha+\beta)} + \frac{\tan\alpha - \tan\beta}{\tan(\alpha-\beta)}$.
Воспользуемся формулами тангенса суммы и разности: $\tan(\alpha+\beta) = \frac{\tan\alpha + \tan\beta}{1 - \tan\alpha \tan\beta}$ и $\tan(\alpha-\beta) = \frac{\tan\alpha - \tan\beta}{1 + \tan\alpha \tan\beta}$.
Рассмотрим первое слагаемое: $\frac{\tan\alpha + \tan\beta}{\tan(\alpha+\beta)} = \frac{\tan\alpha + \tan\beta}{\frac{\tan\alpha + \tan\beta}{1 - \tan\alpha \tan\beta}} = (\tan\alpha + \tan\beta) \cdot \frac{1 - \tan\alpha \tan\beta}{\tan\alpha + \tan\beta} = 1 - \tan\alpha \tan\beta$.
Рассмотрим второе слагаемое: $\frac{\tan\alpha - \tan\beta}{\tan(\alpha-\beta)} = \frac{\tan\alpha - \tan\beta}{\frac{\tan\alpha - \tan\beta}{1 + \tan\alpha \tan\beta}} = (\tan\alpha - \tan\beta) \cdot \frac{1 + \tan\alpha \tan\beta}{\tan\alpha - \tan\beta} = 1 + \tan\alpha \tan\beta$.
Сложим полученные выражения: $(1 - \tan\alpha \tan\beta) + (1 + \tan\alpha \tan\beta) = 2$.
Ответ: $2$.

г)Исходное выражение: $\frac{\cos(\alpha + \beta) + \sin(\pi - \alpha)\cos(\frac{3\pi}{2} + \beta)}{\cos(\alpha - \beta) + \cos(\frac{3\pi}{2} - \alpha)\cos(\frac{\pi}{2} - \beta)}$.
Применим формулы приведения для упрощения тригонометрических функций:
$\sin(\pi - \alpha) = \sin\alpha$ (угол во II четверти, синус положителен).
$\cos(\frac{3\pi}{2} + \beta) = \sin\beta$ (угол в IV четверти, косинус положителен, функция меняется на кофункцию).
$\cos(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = -\sin\alpha$ (угол в III четверти, косинус отрицателен, функция меняется на кофункцию).
$\cos(\frac{\pi}{2} - \beta) = \sin\beta$ (угол в I четверти, косинус положителен, функция меняется на кофункцию).
Подставим эти значения в исходное выражение. Упростим числитель, используя формулу косинуса суммы $\cos(\alpha+\beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta$ :
$\cos(\alpha + \beta) + \sin\alpha \sin\beta = (\cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta) + \sin\alpha \sin\beta = \cos\alpha \cos\beta$.
Упростим знаменатель, используя формулу косинуса разности $\cos(\alpha-\beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta$ :
$\cos(\alpha - \beta) + (-\sin\alpha)(\sin\beta) = \cos(\alpha - \beta) - \sin\alpha \sin\beta = (\cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta) - \sin\alpha \sin\beta = \cos\alpha \cos\beta$.
Разделим числитель на знаменатель: $\frac{\cos\alpha \cos\beta}{\cos\alpha \cos\beta} = 1$.
Ответ: $1$.